primitive Wurzel < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Beweisen Sie: 3 ist primitive Wurzel für Primzahlen der Gestalt [mm] 2^n [/mm] + 1. |
Hallo,
ich probiere schon die ganze Zeit hier einen Ansatz zu finden, aber irgendwie gelingt mir das nicht! :(
Ich hab es mittels indirektem Beweis versucht, ich wollte also zeigen, dass die Ordnung der 3 gerade [mm] \phi(2^n+1)=2^n [/mm] ,da [mm] 2^n [/mm] + 1 eine Primzahl, ist. Aber das gelingt mir leide rnicht so recht...
kann mir jemand weiterhelfen, ein Ansatz wäre schon hilfreich :)
vielen Dank
Liebe Grüße, Anja!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:32 Di 24.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
für n = 1 stimmt die Aussage ja schon nicht, dann kann man's auch nicht beweisen 
LG djmatey
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Di 24.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Anja
> Beweisen Sie: 3 ist primitive Wurzel für Primzahlen der
> Gestalt [mm]2^n[/mm] + 1.
Also wie schon bemerkt wurde, muss $n [mm] \ge [/mm] 2$ sein dafuer, ansonsten klappt es nicht.
>
> ich probiere schon die ganze Zeit hier einen Ansatz zu
> finden, aber irgendwie gelingt mir das nicht! :(
>
> Ich hab es mittels indirektem Beweis versucht, ich wollte
> also zeigen, dass die Ordnung der 3 gerade [mm]\phi(2^n+1)=2^n[/mm]
> ,da [mm]2^n[/mm] + 1 eine Primzahl, ist. Aber das gelingt mir leide
> rnicht so recht...
Nach dem kleinen Satz von Fermat ist die Ordnung von $3$ ein Teiler von [mm] $2^n$, [/mm] also von der Form [mm] $2^i$ [/mm] fuer ein $i$. Du willst also $i = n$ zeigen.
Dazu reicht es z.B. aus, zu zeigen, dass [mm] $3^{2^{n-1}} [/mm] - 1$ nicht durch [mm] $2^n [/mm] + 1$ teilbar ist.
Es ist uebrigens [mm] $3^{2^{n-1}} [/mm] - 1 = 2 [mm] \prod_{i=0}^{n-2} (3^{2^i} [/mm] + 1)$; es reicht also aus zu zeigen, dass keiner der Faktoren [mm] $3^{2^i} [/mm] + 1$ durch [mm] $2^n [/mm] + 1$ teilbar ist.
Vielleicht kommst du damit weiter...
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 Di 24.06.2008 | | Autor: | ski-freak |
vielen Dank =)
ich versuche das gleich mal....
|
|
|
|
