potenzierte Wurzelfunktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen sie die 1. und 2. Ableitung der folgenden Funktion:
[mm]f(x) = (\wurzel{x})^\wurzel{x}[/mm] |
Hi,
ich weiß nicht so richtig wie ich hier anfangen soll. Habe es erstmal etwas umgeformt:
[mm] f(x) = x^{\bruch{1}{2}x^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
Kann mir jemand einen Tipp geben?
Danke!
neo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
dabei ist sicherlich $x [mm] \ge [/mm] 0$. An der Stelle $x=0$ musst Du Dir nochmal Gedanken machen, aber für x > 0 kannst Du schreiben
[mm] $\wurzel{x}^{\wurzel{x}}=x^{\frac{1}{2} *x^{\frac{1}{2}}}=exp(\frac{1}{2} [/mm] log(x) [mm] *x^{\frac{1}{2}})$
[/mm]
D.h. hier ist $f(x)=(g [mm] \circ [/mm] h)(x)$ für jedes $x > 0$, wobei $g(x)=exp(x)$ und [mm] $h(x)=\frac{1}{2} [/mm] log(x) [mm] *x^{\frac{1}{2}}$. [/mm] Dann kannst Du mit der Kettenregel arbeiten. Um $h'$ zu berechnen, wendest Du die Produktregel an. Und dass man $x [mm] \mapsto \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ [/mm] für $x > 0$ ableitet zu $x [mm] \mapsto \frac{1}{2\sqrt{x}}$, [/mm] ist Dir klar, oder? Ebenso sollte bekannt sein, dass der für $x > 0$ definierte Logarithmus dort die Ableitung $x [mm] \mapsto \frac{1}{x}$ [/mm] hat...
P.S.:
log(.) steht für den natürlichen Logarithmus, also er wäre vll. besser als ln(.) notiert...
Gruß,
Marcel
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Danke für die Antwort!
Allerdings kann ich noch nichts mit exp(.) anfangen, ist mir bis jetzt unbekannt. Kann man das auch anders lösen?
Der Rest (Wurzelableitung usw.) ist mir klar, das ist kein Problem.
neo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Mi 02.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Mit exp(x) ist im Allgemeonen die e-Funktion gemeint, also [mm] exp(x)=e^{x}
[/mm]
(in Anlehnung an f(x))
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
okay, ich war gerade etwas irritiert und dachte zuerst, dass Du zwar den Logarithmus kennst, aber nicht die $e$-Funktion. Aber Dir war anscheinend nur die Schreibweise unbekannt 
Das hat sich ja nun geklärt, und mit der $e$-Funktion kennst Du Dich hoffentlich aus
Es kann übrigens sein, dass f nur für $x > 0$ definiert ist, denn soweit ich mich nicht durch einen Plotter zu sehr täuschen lasse (da ich zu faul bin, selbst nachzurechnen  ), ist die Funktion an der Stelle 0 in einem gewissen Sinne etwas "problematisch", weil die Ableitungen dort nicht endlich sind...
Gruß,
Marcel
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