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positiv definite Abbildung: Beweis?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:04 Di 01.12.2009
Autor: Cassipaya

Aufgabe
Sei [mm] b:V\times V\to\IR [/mm] eine Bilinearform auf einem [mm] \IR-Vektorraum [/mm] V und [mm] A=(Aij)_{i,j=1...n} :=M_{\mathcal{B}}(b) [/mm] ihre Matrizendarstellung bezüglich einer Basis [mm] \mathcal{B}. [/mm] Zeigen Sie:

b positiv definit [mm] \Rightarrow [/mm] spur(A) > 0

Hallo liebe HelferInnen

Irgendwie leuchtet mir das nicht ein, da eine Abbildung b: [mm] x^{T}Ax [/mm] durchaus nur 0 auf den Diagonaleinträgen von A haben kann, und immer noch positiv sein. dies hängt ja dann vorwiegend von x ab... wenn x keine negativen Komponenten hat, muss die Spur ja nicht unbedingt ungleich Null sein.

Kann mir da jemand helfen, den Ansatz zu finden? (dass A ungleich Null sein muss, habe ich schon rausgekriegt, aber das heisst ja nur, dass min. ein [mm] a_{ij} \not=0 [/mm] ... und das kann durchaus ausserhalb der Diagonalen liegen?!?)

Danke jetzt schon für eure Hilfe.

Liebe Grüsse

Cassiopaya

        
Bezug
positiv definite Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:32 Di 01.12.2009
Autor: angela.h.b.


> Sei [mm]b:V\times V\to\IR[/mm] eine Bilinearform auf einem
> [mm]\IR-Vektorraum[/mm] V und [mm]A=(Aij)_{i,j=1...n} :=M_{\mathcal{B}}(b)[/mm]
> ihre Matrizendarstellung bezüglich einer Basis
> [mm]\mathcal{B}.[/mm] Zeigen Sie:
>  
> b positiv definit [mm]\Rightarrow[/mm] spur(A) > 0
>  Hallo liebe HelferInnen
>  
> Irgendwie leuchtet mir das nicht ein, da eine Abbildung b:
> [mm]x^{T}Ax[/mm] durchaus nur 0 auf den Diagonaleinträgen von A
> haben kann, und immer noch positiv sein.

Was meinst Du mit "positiv"? Positiv definit?
Welche Matrix hast Du denn im Auge, die nur Nullen auf der Hauptdiagonalen hat und positiv definit ist?

>  dies hängt ja
> dann vorwiegend von x ab... wenn x keine negativen
> Komponenten hat, muss die Spur ja nicht unbedingt ungleich
> Null sein.

Wenn A der darstellende Matrix der positiv definiten Bilinearform b ist,

dann gilt für alle (!) x mit [mm] x\not=0 [/mm] :     [mm] x^{t}Ax>0. [/mm]

>  
> Kann mir da jemand helfen, den Ansatz zu finden?

Rechne mal für die Einheitsvektoren [mm] e_i [/mm] aus [mm] e_i^{t}Ae_i. [/mm]

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
positiv definite Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:25 Di 01.12.2009
Autor: Cassipaya

Hmm...
Wenn positiv definit nicht bedeutet, dass das Resultat schlussendlich positiv ist, dann verstehe ich nicht was positiv definit heisst.

Ich hab versucht mich schlau zu machen, aber finde keine schlaue Erklärung.

heisst das, alle Matrixeinträge müssen positiv sein?

Danke nochmals.

Cassiopaya

Bezug
                        
Bezug
positiv definite Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 Di 01.12.2009
Autor: angela.h.b.


> Hmm...
>  Wenn positiv definit nicht bedeutet, dass das Resultat
> schlussendlich positiv ist, dann verstehe ich nicht was
> positiv definit heisst.

Hallo,

psitiv definit heißt das, was ich geschrieben hatte und was auch sonst überall steht:

daß [mm] x^{t}Ax>0 [/mm] bzw. b(x,x)>0 für alle x [mm] \not=0 [/mm] ist.

Ich hatte mich zuvor daran gestoßen, daß Du etwas über eine positive Abbildung b schriebst.

> heisst das, alle Matrixeinträge müssen positiv sein?

Nein.

Es heißt das, was obige Definition sagt.

Gruß v. Angela


Bezug
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