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| Aufgabe | Sei A ein kommutativer Ring, aber kein Integritätsbereich. In Polynomringen über A sind die Unbestimmten aus Gradgründen unzerlegbare Elemente, jedoch nicht prim.
Widerlegen Sie diese Aussage. |
moin,
Laut Aufgabenblatt soll obige Aussage aus einem Algebrabuch (welches ist nicht angegeben) stammen und falsch sein.
Ich habe mir dazu erstmal überlegt:
Ist $A$ der Nullring, so ist auch jeder Polynomring über $A$ der Nullring, also kann man hier weder von Unbestimmten noch von prim oder irreduzibel ("unzerlegbar" soll irreduzibel heißen) sprechen, also sollte man dies wohl ausschließen.
Ist $A$ nicht der Nullring und kein Intigritätsbereich, so gibt es $a,b [mm] \in [/mm] A$ mit $a,b [mm] \neq [/mm] 0$ und $ab=0$.
Sei nun $R$ ein Polynomring über $A$ und $x$ eine Unbestimmte (durch passende Umbenennung der Unbestimmten deckt dies jeden beliebigen Polynomring ab), so gilt: $x [mm] \mid [/mm] 0 = ab$, aber $x [mm] \not [/mm] | a$ und $x [mm] \not [/mm] | b$, somit ist $x$ also nicht prim.
Es bleibt also zu zeigen, dass $x$ reduzibel ist, also es gilt ein Beispiel eines kommutativen Rings zu finden, der kein Integritätsbereich ist und einen Polynomring über diesem; in diesem schließlich eine nicht-triviale Zerlegung einer Unbekannten.
Ich hab da schon einiges rumprobiert, aber finde leider nichts...
Die Aussage, dass die Unbekannten aus Gradgründen irreduzibel sein sollen, finde ich spontan auch ganz plausibel, von daher wäre ich für einige Hinweise überaus dankbar.
lg und danke schonmal
Schadow
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So, hab jetzt doch ein Beispiel gefunden.
Damit der Post nicht ganz umsonst war verrate ich es hier nicht (wer es wissen möchte kann per PN fragen), sodass die schlauen Köpfe hier wenn nicht (mehr) helfen so doch ein wenig knobeln können.
lg
Schadow
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