polynomfunktion,nullstellen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Mi 16.03.2005 | | Autor: | numa |
Ich habe folgende Frage:
Für welche Werte von c hat die polynomfunktion [mm] f(x)=x^5-cx^3+x [/mm]
fünf reele Nullstellen?
Wär echt super wenn mir das jemand erläutern könnte.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.htwm.de/~mathe/forum/viewtopic.php?t=287&sid=00c81567094c078e4f8364488a9c2b83
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Max |
Hallo,
> Für welche Werte von c hat die polynomfunktion
> [mm]f(x)=x^5-cx^3+x[/mm]
> fünf reele Nullstellen?
Es gilt ja wohl offensichtlich [mm] $f(x)=x\cdot \left(x^4-cx^2+1\right)$ [/mm] und damit hat $f$ immer die Nullstelle $0$. Die Nullstellen des zweiten Faktors kann man errechenen, indem man mit Substitution arbeitet. Wählt ma z.B. [mm] $z=x^2$ [/mm] kann man den zweiten Faktor schreiben als [mm] $\left(z^2-cz+1\right)$. [/mm] Hier kannst du jetzt mal versuchen die Nullstellen zu bestimmen und evtl. schaffst du es ja sogar auch zu resubstituieren um die Frage vollständig zu beantworten.
Gruß Brackhaus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mi 16.03.2005 | | Autor: | numa |
Danke für die schnelle hilfe!
Nach deiner erklärung kann ich verstehen das 0 uaf jeden fall eine der null stellen ist!
Jedoch hilft mir dein Vorschlag nicht weiter !
[mm] wenn:z=x^2
[/mm]
[mm] f(x)=\wurzel{z}*(z^2-cz^2+1) [/mm] ?
Wie soll mir das aber weiterhelfen?sobald ich dies nach z auflöse kommt ja mit y eine weitere variable dazu!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Mi 16.03.2005 | | Autor: | numa |
danke auch für diesen tipp....
nach anwendung der p/q formel kam ich zu folgnden ergebnissen:
[mm] z=-((\wurzel{c^2-4}-c)/2
[/mm]
[mm] z=(\wurzel{c^2-4}+c)/2
[/mm]
tja und nu.....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mi 16.03.2005 | | Autor: | numa |
hm...
heisst das jetzt das c größer/gleich 2 sein muss,weil sonst ein negativer wert unter der wurzel entsteht?
falls ja wäre das die lösung des problems?
das resubstituieren macht mir außerdem auch probleme.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Florian!
> heisst das jetzt das c größer/gleich 2 sein muss,weil
> sonst ein negativer wert unter der wurzel entsteht?
> falls ja wäre das die lösung des problems?
Fast ... Der Ansatz ist richtig! Was ist denn z.B. mit $c \ = \ -7$
Das ist doch eindeutig kleiner als 2, aber scheint ja doch eine reelle Lösung zu ergeben, oder?
Folgendermaßen mußt Du rechnen:
[mm] $c^2 [/mm] - 4 \ [mm] \ge [/mm] \ 0$
[mm] $\gdw$ $c^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 4$
[mm] $\gdw$ $\red{|} [/mm] \ c \ [mm] \red{|} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \wurzel{4} [/mm] \ = \ 2$
[mm] $\gdw$ [/mm] $c \ [mm] \ge [/mm] \ 2$ oder $c \ [mm] \le [/mm] \ -2$
(Am besten mal auf dem Zahlenstrahl klarmachen ...)
Re-Substitution
Wir hatten ja erhalten:
[mm] $z_{1,2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{c \ \pm \ \wurzel{c^2 - 4}}{2}$
[/mm]
Damit wird aus [mm] $x_i [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{z}$ [/mm] ...
[mm] $x_{2,3,4,5} [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{\bruch{c \ \pm \ \wurzel{c^2 - 4}}{2}}$
[/mm]
Der Vollständigkeit halber wäre hier noch zu überprüfen, wann die große Wurzel definiert ist, also ...
[mm] $\bruch{c \ \pm \ \wurzel{c^2 - 4}}{2} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$
[mm] $\gdw$ [/mm] $c \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{c^2 - 4} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$
[mm] $\gdw$ [/mm] $c \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \mp [/mm] \ [mm] \wurzel{c^2 - 4}$
[/mm]
[mm] $\red{\Rightarrow}$ $c^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] c^2 [/mm] - 4$
[mm] $\gdw$ [/mm] $0 \ [mm] \ge [/mm] \ -4$ wahre Aussage, gilt also für alle c!
Damit verbleibt als einzige Einschränkung die o.g. Bedingung:
$| \ c \ | \ [mm] \ge [/mm] \ 2$.
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 Mi 16.03.2005 | | Autor: | numa |
Hab's verstanden!
Vielen Dank für die gute Erklärung.
gb
numa
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
p/q-Formel![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Stimmt soweit (etwas ungewöhnliche Darstellung ...) !
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Am Ende die Re-Substitution nicht vergessen:
