polynom-lineare unabhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo
ich habe probleme bei folgender aufgabe:
der lineare raum wird nicht durch vektoren aufgespannt, sondern durch die menge aller polynome höchstens dritten grades
wie kann ich zeigen dass die polynome [mm] (x+1)^3 [/mm] , [mm] (x-1)^3 [/mm] und [mm] x(x^2+3) [/mm] linear abhängig oder unabhängig sind?
habe bisher die linear abhängigkeit oder unabhängigkeit nur bei vektoren gezeigt und hab jetzt keinen plan, wie ich nun bei polynomen vorgehen soll bzw. was es überhaupt bedeutet, wenn 3 funktionen linear unabhängig sind
wäre für antworten dankbar
gruß rudi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rudi!
Das funktioniert genauso wie bei den Vektoren. Es ist zu zeigen, ob sich eine der genannten Funktionen durch eine Linearkombination der anderen beiden erzeugen lässt.
Du musst untersuchen, ob für die reellen Zahlen [mm] $\text{a}$, $\text{b}$ [/mm] und [mm] $\text{c}$ [/mm] eine andere Lösung als die Triviallösung $a \ = \ b \ = \ c \ = \ 0$ existiert:
[mm] $a*(x+1)^3 [/mm] + [mm] b*(x-1)^3 [/mm] + [mm] c*x*\left(x^2+3\right) [/mm] \ = \ 0$
Diese Gleichung ausmultiplizieren, zusammenfassen und anschließend Koeffizientenvergleich.
Ich habe hier lineare Abhängigkeit erhalten.
Gruß
Loddar
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danke loddar
aber eine frage noch:
wie führt man so einen koeffizientenvergleich durch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rudi!
Hast Du die Gleichung nun sortiert?
Dann lässt sich das schreiben als:
[mm] $\red{\text{(Klammer 1)}}*x^3 [/mm] + [mm] \blue{\text{(Klammer 2)}}*x^2 [/mm] + [mm] \text{(Klammer 3)}*x [/mm] + [mm] \green{\text{(Klammer 4)}} [/mm] \ = \ 0 \ = \ [mm] \red{\text{0}}*x^3 [/mm] + [mm] \blue{\text{0}}*x^2 [/mm] + [mm] \text{0}*x [/mm] + [mm] \green{\text{0}}*1$
[/mm]
Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
1. [mm] $\red{\text{(Klammer 1)}} [/mm] \ = \ [mm] \red{\text{0}}$
[/mm]
2. [mm] $\blue{\text{(Klammer 2)}} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\text{0}}$
[/mm]
3. [mm] $\text{(Klammer 3)} [/mm] \ = \ [mm] \text{0}$
[/mm]
4. [mm] $\green{\text{(Klammer 4)}} [/mm] \ = \ [mm] \green{\text{0}}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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habe auch lin. abhängiggkeit erhalten
danke für die schnelle hilfe
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