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Hallo
Ich muss mal wieder nerven 
Die ersten 3 bspiele waren ja einfach
aber bei dem fang ich wieder zu zweifeln an...
Eine Maschine arebitet mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.98
innerhalb einer Stunde. Die Anzahl der Fehler ist Poisson-verteilt
Die Fehelranzahl innerhalb verschiederner Zeitspannen seien unabhängig.
a; Bestimmen sie den Parameter der Verteilung sowie die zu erwartende
Fehleranzahl inerhalb einer Stunde
b; Wie wahrscheinlich ist es,dass die Maschine 24 Stunden lang
fehlerlos arbeitet maximal 2 Fehler macht?
Poisson Verteilung: [mm] $P(x|\lambda)=e^{- \lambda} {\lambda^x \over x!}$
[/mm]
Ok zu a:
Die Wahrscheinlichkeit das die maschine in einer stunde ausfällt ist 1-.98=0.02
D.h in Hunder Stunden fällt sie im Schnitt 2 mal aus. Und in einerstunde
ist es dann eben 0.02 =$1 [mm] \over [/mm] 50$ also das gesuchte Lambda???
(Ich glaube das ist mit Parameter gemeint)
Die zu erwartende Fehleranzahl steckt im x
also [mm] $1-0.98=e^{-{ 1 \over 50} }*{\lambda^x \over x}$
[/mm]
nur erstens kann man die Gleichung nicht ohne approximation lösen...
und 2ens die zu erwartende Fehleranzahl inerhalb einer Stunde ist doch 0.02
Irgendwie vermisch ich da irgendwas komm aber nicht drauf wo ich falsch denke.
zu b;
fehlerlos arbeitet:
[mm] $P(x)=e^{ - { 24 \over 50}} [/mm] { {24 [mm] \over 50}^0 \over [/mm] 0!} $
maximal 2 Fehler macht:
[mm] $P(x)=e^{ - { 24 \over 50}} [/mm] { {24 [mm] \over 50}^2 \over [/mm] 2!} $
das stimmt natürlich nur wenn lambda stimmt.
Ein Dank erstmal an alle die mir bereits geholfen haben und Geduld aufbrachten! ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
mfg Martin
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Hi Martin,
ich bin mir mit meiner Antwort nicht 100% sicher, aber doch ziemlich (eben mit poissonverteiltem Fehler und Lambda = 0.02) !
ad a.
Klarer Fall, der Parameter muss 0.02 sein. Die Poissonverteilung ist ja gerade dadurch gekennzeichnet, dass Lambda sowohl dem Erwartungswert, als auch der Varianz entspricht. Da Du 2 Ausfälle pro 100 erwartest, ist Lambda 0.02.
Aufgrund der obigen Argumentation ist auch klar, dass E(x) 0.02 sein muss, oder anschaulicher: 1mal pro 50 Stunden.
ad b.
Ich glaub hier hast Du eine Überlegung ausser Acht gelassen. Maximal 2 Fehler heisst ja es können 0,1 oder 2 auftreten. Du rechnest in Deinem Beitrag Werte für die Dichtefunktion aus. Du benötigst aber die Verteilungsfunktion für x=2: Die erhältst Du (da die Zufallsgrösse diskret ist) durch Addition der Wahrscheinlichkeiten aller möglicher Fälle.
Gruss,
Carsten
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> Hi Martin,
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> ich bin mir mit meiner Antwort nicht 100% sicher, aber doch
> ziemlich (eben mit poissonverteiltem Fehler und Lambda =
> 0.02) !
>
> ad a.
>
> Klarer Fall, der Parameter muss 0.02 sein. Die
> Poissonverteilung ist ja gerade dadurch gekennzeichnet,
> dass Lambda sowohl dem Erwartungswert, als auch der Varianz
> entspricht. Da Du 2 Ausfälle pro 100 erwartest, ist Lambda
> 0.02.
> Aufgrund der obigen Argumentation ist auch klar, dass E(x)
> 0.02 sein muss, oder anschaulicher: 1mal pro 50 Stunden.
>
>
> ad b.
>
> Ich glaub hier hast Du eine Überlegung ausser Acht
> gelassen. Maximal 2 Fehler heisst ja es können 0,1 oder 2
> auftreten. Du rechnest in Deinem Beitrag Werte für die
> Dichtefunktion aus. Du benötigst aber die
> Verteilungsfunktion für x=2: Die erhältst Du (da die
> Zufallsgrösse diskret ist) durch Addition der
> Wahrscheinlichkeiten aller möglicher Fälle.
>
> Gruss,
>
> Carsten
>
Hi danke erstaml !
Jetzt wird mir einiges einwenig klarer! ...
Das heißt doch wenn ich die Warhscheinlichkeit für genau 2 Fehler berechne möchte, wäre es das
was ich berechnet habe ? ...und für die Wahrscheinlichekeit von 0 und 2 Fehler wäre es die Summe
der Elemnte von x=0 und x=2 ?
mfg martin
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Ja, in diesem Fall kannst Du einfach aufaddieren. Also z.B. 0 Fehler und 3 Fehler= f(0)+f(3).
Das geht, da die Poissonverteilung eine diskrete Verteilung ist. D.h. sie nimmt nur ganzzahlige x-Werte an.
Du hast -wenn ich mich recht erinnere - einmal die Wkt. für 0 Fehler berechnet und einmal für genau 2 Fehler.
Spinnen wir das ganze doch mal etwas weiter.... Nehmen wir an, Du willst die Wkt für MEHR als 1 Fehler rausbekommen:
Dann berechnest Du einfach im ersten Schritt die Wahrscheinlichkeit für 0 Fehler + 1 Fehler: f(0)+f(1)
Davon bildest du die Gegenwahrscheinlichkeit also: 1-f(0)-f(1)
Gruss, Carsten
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