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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:19 So 11.06.2006 | | Autor: | VHN |
| Aufgabe | Betrachte die DGLen
(P) x´´ = [mm] -\alpha^{2}sinx [/mm] und
(M) x´´ = [mm] -\alpha^{2}x [/mm]
des physikalischen und mathematischen Pendels zu einer geeigneten Konstanten [mm] \alpha [/mm] > 0:
(a) Zeige: für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ist die maximale Lösung [mm] u_{ \varepsilon} [/mm] von (P) zur Anfangsbedingung x(0) = 0, x´(0) = [mm] \varepsilon\alpha [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert. Bestimme außerdem die max. Lösung [mm] v_{ \varepsilon} [/mm] von M zur selben anfangsbedingung.
(b) Beweise die folgende Präzisierung der aussage "bei kleinen auslenkungen kann (P) duch (M) ersetzt werden": Für alle t [mm] \in \IR [/mm] ist
[mm] |u_{ \varepsilon}(t)-v_{ \varepsilon}(t)| \le e^{(1\vee\alpha^{2}) |t|}|t| \bruch{\alpha^{2}\varepsilon^{3}}{6}.
[/mm]
verwende dabei ohne beweis folgende abschätzung:
[mm] |x-sinx|\le|\bruch{x^{3}}{6}| [/mm] für x [mm] \in \IR [/mm] |
hallo liebes forum!
ich blicke bei der aufgabe nicht ganz durch.
wie zeige ich bei der (a), dass die lösung von (P) auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert ist?
und kaönnt ihr mir bitte nur einen kleinen tipp geben, wie ich die max. lösung von (M) rauskriege?
bei der (b) weiß ich nicht, wie ich überhaupt diese abschätzung verwenden kann. muss ich dazu beide maximale lösungen von (M) und (P) haben?
ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen. ich tu mich bisschen schwer bei solchen aufgaben. vielen dank!
VHN
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 15.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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