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| Aufgabe | | Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (\overline{n}^n)_{n \in \IN} \subset \IZ_p [/mm] periodisch ist mit Periodenlänge p(p-1). |
Hallo alle zusammen,
ich habe versucht zu zeigen, dass [mm] (\overline{n+(p(p-1))}^{n+(p(p-1))}) [/mm] = [mm] (\overline{n}^n), [/mm] dann hätte ich doch gleich auch Periodizität gezeigt:
[mm] \overline{n+(p(p-1))}^{n+(p(p-1))} = \overline{n+(p(p-1))}^{p(p-1)} \cdot \overline{n+(p(p-1))}^{n} [/mm] da ich mich in [mm] \IZ_p [/mm] befinde, ist das aber gleich
[mm] \overline{n}^{p(p-1)} \cdot \overline{n}^n
[/mm]
[mm] \overline{n}^{p(p-1)} [/mm] ist aber [mm] \overline{1}, [/mm] weil p-1 die Elementeanzahl der Einheitengruppe von [mm] \IZ_p [/mm] ist.
Irgendwie kommt mir das zu einfach vor, habe ich irgendetwas übersehen
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> Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass die Folge
> [mm](\overline{n}^n)_{n \in \IN} \subset \IZ_p[/mm] periodisch ist
> mit Periodenlänge p(p-1).
> Hallo alle zusammen,
>
> ich habe versucht zu zeigen, dass
> [mm](\overline{n+(p(p-1))}^{n+(p(p-1))})[/mm] = [mm](\overline{n}^n),[/mm]
> dann hätte ich doch gleich auch Periodizität gezeigt:
>
> [mm]\overline{n+(p(p-1))}^{n+(p(p-1))} = \overline{n+(p(p-1))}^{p(p-1)} \cdot \overline{n+(p(p-1))}^{n}[/mm]
> da ich mich in [mm]\IZ_p[/mm] befinde, ist das aber gleich
>
> [mm]\overline{n}^{p(p-1)} \cdot \overline{n}^n[/mm]
>
> [mm]\overline{n}^{p(p-1)}[/mm] ist aber [mm]\overline{1},[/mm] weil p-1 die
> Elementeanzahl der Einheitengruppe von [mm]\IZ_p[/mm] ist.
>
> Irgendwie kommt mir das zu einfach vor, habe ich
> irgendetwas übersehen
Die Querstriche bedeuten wohl einfach die Reduktion
modulo p, also [mm] $\overline{k}\ [/mm] =\ mod(k,p)$ , oder ?
Für mich wirken die Striche wenigstens auf den ersten
Blick eher verwirrend ...
LG
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Ja, also ich bin davon ausgegangen, dass es so ist, wie von dir beschrieben.
Viele Grüße!
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> Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass die Folge
> [mm](\overline{n}^n)_{n \in \IN} \subset \IZ_p[/mm] periodisch ist
> mit Periodenlänge p(p-1).
> Hallo alle zusammen,
>
> ich habe versucht zu zeigen, dass
> [mm](\overline{n+(p(p-1))}^{n+(p(p-1))})[/mm] = [mm](\overline{n}^n),[/mm]
> dann hätte ich doch gleich auch Periodizität gezeigt:
>
> [mm]\overline{n+(p(p-1))}^{n+(p(p-1))} = \overline{n+(p(p-1))}^{p(p-1)} \cdot \overline{n+(p(p-1))}^{n}[/mm]
> da ich mich in [mm]\IZ_p[/mm] befinde, ist das aber gleich
>
> [mm]\overline{n}^{p(p-1)} \cdot \overline{n}^n[/mm]
>
> [mm]\overline{n}^{p(p-1)}[/mm] ist aber [mm]\overline{1},[/mm] weil p-1 die
> Elementeanzahl der Einheitengruppe von [mm]\IZ_p[/mm] ist.
>
> Irgendwie kommt mir das zu einfach vor, habe ich
> irgendetwas übersehen
Hallo schneckennudel,
ich hab mir's jetzt etwas näher angeschaut, und ich
denke, dass deine Überlegungen in Ordnung sind.
Ich würde nur noch angeben, dass der Schlüssel zur
Lösung im "kleinen satz von Fermat" steckt.
LG Al-Chw.
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Vielen Dank für die schnelle Hilfe!
ein schönes Wochenende 
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