periodische Fkt, Ergodensatz < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 So 15.12.2013 | | Autor: | Tipsi |
Hallo, liebe MathematikerInnen!
Gerade haben wir die Ergodensätze gemacht und dazu folgendes Beispiel bekommen:
Für eine auf [mm] \mathbb{R} [/mm] periodische Funktion f mit [mm] f(\omega+1) [/mm] = [mm] f(\omega) [/mm] für alle [mm] \omega \in \mathbb{R}, [/mm] die zudem auf ([0,1], [mm] \mathcal{B}\cap [/mm] [0,1], [mm] \lambda) [/mm] integrierbar ist, berechne man [mm] lim_n \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1}f(3^i \omega).
[/mm]
Habt ihr eine Idee, wie man das angehen könnte? Kann man sagen, dass die [mm] f(\omega) [/mm] shift-invariant sind oder wie würde es korrekt lauten?
Vielen Dank im Voraus!
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Hiho,
> Habt ihr eine Idee, wie man das angehen könnte? Kann man sagen, dass die [mm]f(\omega)[/mm] shift-invariant sind oder wie würde es korrekt lauten?
sagen kannst du das sicherlich, nur ist absolut nicht klar, wo du es nun verwenden willst.
Benötigen wirst du es allemal.
Du hast ja selbst schon gesagt, dass der Ergodensatz eine Idee wäre.
Wende ihn doch mal an, was benötigst du dafür?
Auch hier gilt: Voraussetzungen und Ideen hinschreiben ist schonmal die halbe Miete.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Tipsi |
Hallo Gono, danke für deine Antwort!
Ich vermute, folgender Satz würde sich anbieten:
Ist [mm] (X_n)_{n \in \mathbb{N}_0} [/mm] ein stationärer Prozess auf einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega, \sigma, [/mm] P) mit integrierbarem [mm] X_0 [/mm] und der Prozess ergodisch, so gilt [mm] lim_k \frac{1}{k} \sum_{i=0}^{k-1} X_i [/mm] = [mm] \mathbb{E}X_0 [/mm] P-fs.
In dem Beispiel liegt zwar kein Wahrscheinlichkeitsraum vor, aber wir arbeiten auch nur auf [0,1], also würde ich für [mm] P=\lambda [/mm] setzen.
Damit die Voraussetzungen für den Satz erfüllt sind, müssen wir folgende Punkte zeigen:
1.) stationärer Prozess: Es muss gelten: [mm] T^0(\omega)=id(\omega)=\omega [/mm] und [mm] X_n(\omega)=X(T^n(\omega)).
[/mm]
Bei uns ist [mm] 3^0(\omega)=\omega [/mm] und [mm] f_n(\omega):=f(3^n(\omega))
[/mm]
T muss eine maßtreue Transformation sein. Ist das für [mm] T(\omega):=3\omega [/mm] erfüllt? (Ich vermute schon, denn [mm] \lambda(\omega)=\lambda(3 \omega) [/mm] = 0?)
2.) Die X müssen integrierbar sein. Das ist für f laut Angabe erfüllt.
3.) Der Prozess muss ergodisch sein. Ein stationärer stochastischer Prozess [mm] (X_n)_{n \in \mathbb{N}_0} [/mm] auf einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega, \sigma, [/mm] P) ist ergodisch, wenn der Verschiebeoperator shift ergodisch auf [mm] (\mathbb{R}^{\mathbb{N}_0}, \mathcal{B}_{\mathbb{N}_0}, PX^{-1}) [/mm] ist, was auch erfüllt ist, wenn für jede invariante Menge A [mm] \in \sigma [/mm] gilt P(A)=0 oder P(A) = 1.
Die Menge A heißt invariant, wenn es ein shift-invariantes B [mm] \in \mathcal{B}_{\mathbb{N}_0} [/mm] gibt mit [mm] A=X^{-1}(B). [/mm]
Wie kann ich denn zeigen, dass die [mm] f(\omega) [/mm] shift-invariant sind und wie kann ich damit dann zeigen, dass der Punkt erfüllt ist?
Das Ergebnis, [mm] \mathbb{E}(X_0) [/mm] ist dann [mm] \integral_0^1 f(\omega)d\lambda? [/mm]
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Mo 16.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Gono, danke für deine Antwort!
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> Ich vermute, folgender Satz würde sich anbieten:
> Ist [mm](X_n)_{n \in \mathbb{N}_0}[/mm] ein stationärer Prozess
> auf einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega, \sigma,[/mm] P) mit
> integrierbarem [mm]X_0[/mm] und der Prozess ergodisch, so gilt [mm]lim_k \frac{1}{k} \sum_{i=0}^{k-1} X_i[/mm]
> = [mm]\mathbb{E}X_0[/mm] P-fs.
>
> In dem Beispiel liegt zwar kein Wahrscheinlichkeitsraum
> vor, aber wir arbeiten auch nur auf [0,1], also würde ich
> für [mm]P=\lambda[/mm] setzen.
>
> Damit die Voraussetzungen für den Satz erfüllt sind,
> müssen wir folgende Punkte zeigen:
> 1.) stationärer Prozess: Es muss gelten:
> [mm]T^0(\omega)=id(\omega)=\omega[/mm] und
> [mm]X_n(\omega)=X(T^n(\omega)).[/mm]
> Bei uns ist [mm]3^0(\omega)=\omega[/mm] und
> [mm]f_n(\omega):=f(3^n(\omega))[/mm]
> T muss eine maßtreue Transformation sein. Ist das für
> [mm]T(\omega):=3\omega[/mm] erfüllt? (Ich vermute schon, denn
> [mm]\lambda(\omega)=\lambda(3 \omega)[/mm] = 0?)
Nein. Das ist nicht der Fall !
Maßtreu bedeutet: [mm] \lambda(T^{-1}(A))= \lambda(A) [/mm] für alle A [mm] \in \sigma.
[/mm]
FRED
>
> 2.) Die X müssen integrierbar sein. Das ist für f laut
> Angabe erfüllt.
>
> 3.) Der Prozess muss ergodisch sein. Ein stationärer
> stochastischer Prozess [mm](X_n)_{n \in \mathbb{N}_0}[/mm] auf einem
> Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega, \sigma,[/mm] P) ist ergodisch,
> wenn der Verschiebeoperator shift ergodisch auf
> [mm](\mathbb{R}^{\mathbb{N}_0}, \mathcal{B}_{\mathbb{N}_0}, PX^{-1})[/mm]
> ist, was auch erfüllt ist, wenn für jede invariante Menge
> A [mm]\in \sigma[/mm] gilt P(A)=0 oder P(A) = 1.
> Die Menge A heißt invariant, wenn es ein
> shift-invariantes B [mm]\in \mathcal{B}_{\mathbb{N}_0}[/mm] gibt mit
> [mm]A=X^{-1}(B).[/mm]
> Wie kann ich denn zeigen, dass die [mm]f(\omega)[/mm]
> shift-invariant sind und wie kann ich damit dann zeigen,
> dass der Punkt erfüllt ist?
>
> Das Ergebnis, [mm]\mathbb{E}(X_0)[/mm] ist dann [mm]\integral_0^1 f(\omega)d\lambda?[/mm]
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Tipsi |
> > Hallo Gono, danke für deine Antwort!
> >
> > Ich vermute, folgender Satz würde sich anbieten:
> > Ist [mm](X_n)_{n \in \mathbb{N}_0}[/mm] ein stationärer Prozess
> > auf einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega, \sigma,[/mm] P) mit
> > integrierbarem [mm]X_0[/mm] und der Prozess ergodisch, so gilt [mm]lim_k \frac{1}{k} \sum_{i=0}^{k-1} X_i[/mm]
> > = [mm]\mathbb{E}X_0[/mm] P-fs.
> >
> > In dem Beispiel liegt zwar kein Wahrscheinlichkeitsraum
> > vor, aber wir arbeiten auch nur auf [0,1], also würde ich
> > für [mm]P=\lambda[/mm] setzen.
> >
> > Damit die Voraussetzungen für den Satz erfüllt sind,
> > müssen wir folgende Punkte zeigen:
> > 1.) stationärer Prozess: Es muss gelten:
> > [mm]T^0(\omega)=id(\omega)=\omega[/mm] und
> > [mm]X_n(\omega)=X(T^n(\omega)).[/mm]
> > Bei uns ist [mm]3^0(\omega)=\omega[/mm] und
> > [mm]f_n(\omega):=f(3^n(\omega))[/mm]
> > T muss eine maßtreue Transformation sein. Ist das für
> > [mm]T(\omega):=3\omega[/mm] erfüllt? (Ich vermute schon, denn
> > [mm]\lambda(\omega)=\lambda(3 \omega)[/mm] = 0?)
>
> Nein. Das ist nicht der Fall !
Ist obige Zeile also falsch?
>
> Maßtreu bedeutet: [mm]\lambda(T^{-1}(A))= \lambda(A)[/mm] für alle
> A [mm]\in \sigma.[/mm]
Haben wir also keine maßtreue Transformation? Aber dann ist doch der Ergodensatz nicht anwendbar???
>
> >
> > 2.) Die X müssen integrierbar sein. Das ist für f laut
> > Angabe erfüllt.
> >
> > 3.) Der Prozess muss ergodisch sein. Ein stationärer
> > stochastischer Prozess [mm](X_n)_{n \in \mathbb{N}_0}[/mm] auf einem
> > Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega, \sigma,[/mm] P) ist ergodisch,
> > wenn der Verschiebeoperator shift ergodisch auf
> > [mm](\mathbb{R}^{\mathbb{N}_0}, \mathcal{B}_{\mathbb{N}_0}, PX^{-1})[/mm]
> > ist, was auch erfüllt ist, wenn für jede invariante Menge
> > A [mm]\in \sigma[/mm] gilt P(A)=0 oder P(A) = 1.
> > Die Menge A heißt invariant, wenn es ein
> > shift-invariantes B [mm]\in \mathcal{B}_{\mathbb{N}_0}[/mm] gibt mit
> > [mm]A=X^{-1}(B).[/mm]
> > Wie kann ich denn zeigen, dass die [mm]f(\omega)[/mm]
> > shift-invariant sind und wie kann ich damit dann zeigen,
> > dass der Punkt erfüllt ist?
> >
> > Das Ergebnis, [mm]\mathbb{E}(X_0)[/mm] ist dann [mm]\integral_0^1 f(\omega)d\lambda?[/mm]
> >
> > LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Mo 16.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Hallo Gono, danke für deine Antwort!
> > >
> > > Ich vermute, folgender Satz würde sich anbieten:
> > > Ist [mm](X_n)_{n \in \mathbb{N}_0}[/mm] ein stationärer
> Prozess
> > > auf einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega, \sigma,[/mm] P) mit
> > > integrierbarem [mm]X_0[/mm] und der Prozess ergodisch, so gilt [mm]lim_k \frac{1}{k} \sum_{i=0}^{k-1} X_i[/mm]
> > > = [mm]\mathbb{E}X_0[/mm] P-fs.
> > >
> > > In dem Beispiel liegt zwar kein Wahrscheinlichkeitsraum
> > > vor, aber wir arbeiten auch nur auf [0,1], also würde ich
> > > für [mm]P=\lambda[/mm] setzen.
> > >
> > > Damit die Voraussetzungen für den Satz erfüllt sind,
> > > müssen wir folgende Punkte zeigen:
> > > 1.) stationärer Prozess: Es muss gelten:
> > > [mm]T^0(\omega)=id(\omega)=\omega[/mm] und
> > > [mm]X_n(\omega)=X(T^n(\omega)).[/mm]
> > > Bei uns ist [mm]3^0(\omega)=\omega[/mm] und
> > > [mm]f_n(\omega):=f(3^n(\omega))[/mm]
> > > T muss eine maßtreue Transformation sein. Ist das
> für
> > > [mm]T(\omega):=3\omega[/mm] erfüllt? (Ich vermute schon, denn
> > > [mm]\lambda(\omega)=\lambda(3 \omega)[/mm] = 0?)
> >
> > Nein. Das ist nicht der Fall !
> Ist obige Zeile also falsch?
> >
> > Maßtreu bedeutet: [mm]\lambda(T^{-1}(A))= \lambda(A)[/mm] für alle
> > A [mm]\in \sigma.[/mm]
> Haben wir also keine maßtreue
> Transformation? Aber dann ist doch der Ergodensatz nicht
> anwendbar???
Es gibt nicht nur einen Ergodensatz. Welche hattet Ihr denn ?
FRED
> >
> > >
> > > 2.) Die X müssen integrierbar sein. Das ist für f laut
> > > Angabe erfüllt.
> > >
> > > 3.) Der Prozess muss ergodisch sein. Ein stationärer
> > > stochastischer Prozess [mm](X_n)_{n \in \mathbb{N}_0}[/mm] auf einem
> > > Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega, \sigma,[/mm] P) ist ergodisch,
> > > wenn der Verschiebeoperator shift ergodisch auf
> > > [mm](\mathbb{R}^{\mathbb{N}_0}, \mathcal{B}_{\mathbb{N}_0}, PX^{-1})[/mm]
> > > ist, was auch erfüllt ist, wenn für jede invariante Menge
> > > A [mm]\in \sigma[/mm] gilt P(A)=0 oder P(A) = 1.
> > > Die Menge A heißt invariant, wenn es ein
> > > shift-invariantes B [mm]\in \mathcal{B}_{\mathbb{N}_0}[/mm] gibt mit
> > > [mm]A=X^{-1}(B).[/mm]
> > > Wie kann ich denn zeigen, dass die [mm]f(\omega)[/mm]
> > > shift-invariant sind und wie kann ich damit dann zeigen,
> > > dass der Punkt erfüllt ist?
> > >
> > > Das Ergebnis, [mm]\mathbb{E}(X_0)[/mm] ist dann [mm]\integral_0^1 f(\omega)d\lambda?[/mm]
> > >
> > > LG
> >
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:44 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Tipsi |
> Es gibt nicht nur einen Ergodensatz. Welche hattet Ihr denn
> ?
>
> FRED
Hallo, wir hatten den Maximalen Ergodensatz, den Ergodensatz von Birkhoff, den Mittel-Ergodensatz und den, den ich schon geschrieben habe.
Kann denn eine Transformation ergodisch sein, obwohl sie nicht maßtreu ist?
Was von dem, das ich vorher geschrieben habe, war denn richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 18.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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