partikuläre Lösung...? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Sa 22.03.2008 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | | y' = y * sin x + sin x * cos x |
Hallo,
ich versuche gerade die obige Aufgabe zu lösen.
Leider kann ich sie nicht nach der schönen Form der getrennten Variablen lösen, weil ich die Störfunktion g(x) := sin(x)cos(x) mit drin hab...
deshalb habe ich jetzt im ersten Schritt die homogene DGL (für g(x) [mm] \equiv [/mm] 0) gelöst:
y' = y*sin(x)
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = y * sin(x)
[mm] \bruch{dy}{y} [/mm] = sin(x) * dx
[mm] \integral{\bruch{dy}{y}} [/mm] = [mm] \integral{sin(x) * dx}
[/mm]
log [mm] y_{h} [/mm] = -cos(x) + C
[mm] y_{h} [/mm] = [mm] e^{-cos(x) + C}
[/mm]
Jetzt folgt die Bestimmung einer partikulären Lösung, damit ich am diese zur obigen homogenen Lösung addieren kann, um die allgemeine Lösung zu finden. Das Prinzip habe ich verstanden, aber ich weiß beim besten Willen nicht, wie ich auf die partikuläre Lösung kommen soll, ich bräuchte da einen allgemeinen Weg, wie ich so eine bestimmen kann...
da ich Elektrotechnik studiere, habe ich DGL's auch schon dort bei Einschwingvorgängen gelernt, dort war die partikuläre Lösung ganz einfach immer der "eingeschwungene Zustand", also bei der Funktion y(t) für [mm] t\rightarrow\infty [/mm] ...kann man das hier in der allgemeinen Mathematik irgendwie analog machen oder ist es tatsächlich ein "Raten"?
Wäre nett, wenn das mir jemand in einfachen Worten erklären könnte;) Danke schonmal ;)
Viele Grüße,
matti
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:30 Sa 22.03.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo matti,
mit der Variation der Konstanten kommst Du hier weiter. In diesem Link hatte ich hierzu schon mal einiges geschrieben.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo MattiJo,
> y' = y * sin x + sin x * cos x
> Hallo,
>
> ich versuche gerade die obige Aufgabe zu lösen.
> Leider kann ich sie nicht nach der schönen Form der
> getrennten Variablen lösen, weil ich die Störfunktion g(x)
> := sin(x)cos(x) mit drin hab...
>
> deshalb habe ich jetzt im ersten Schritt die homogene DGL
> (für g(x) [mm]\equiv[/mm] 0) gelöst:
>
> y' = y*sin(x)
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = y * sin(x)
> [mm]\bruch{dy}{y}[/mm] = sin(x) * dx
> [mm]\integral{\bruch{dy}{y}}[/mm] = [mm]\integral{sin(x) * dx}[/mm]
> log
> [mm]y_{h}[/mm] = -cos(x) + C
> [mm]y_{h}[/mm] = [mm]e^{-cos(x) + C}[/mm]
[mm]y_{h}[/mm] = [mm]e^{-cos(x) + C}[/mm]
[mm]= e^{C}*e^{-\cos\left(x\right)}=C_{1}*e^{-\cos\left(x\right)}[/mm]
>
>
> Jetzt folgt die Bestimmung einer partikulären Lösung, damit
> ich am diese zur obigen homogenen Lösung addieren kann, um
> die allgemeine Lösung zu finden. Das Prinzip habe ich
> verstanden, aber ich weiß beim besten Willen nicht, wie ich
> auf die partikuläre Lösung kommen soll, ich bräuchte da
> einen allgemeinen Weg, wie ich so eine bestimmen kann...
> da ich Elektrotechnik studiere, habe ich DGL's auch schon
> dort bei Einschwingvorgängen gelernt, dort war die
> partikuläre Lösung ganz einfach immer der "eingeschwungene
> Zustand", also bei der Funktion y(t) für [mm]t\rightarrow\infty[/mm]
> ...kann man das hier in der allgemeinen Mathematik
> irgendwie analog machen oder ist es tatsächlich ein
> "Raten"?
> Wäre nett, wenn das mir jemand in einfachen Worten
> erklären könnte;) Danke schonmal ;)
Nach der ![[]](/images/popup.gif) Variation der Konstanten ist der Ansatz für die partikuläre Lösung [mm]y_{p}=C_{1}\left(x\right)*e^{-\cos\left(x\right)}[/mm].
Mache also die Konstante von x abhängig.
> Viele Grüße,
> matti
Gruß
MathePower
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