partielle / totale Diff'barkei < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:59 So 03.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Morgen!
Ich arbeite gerade ein Prüfungsprotokoll durch und hätte zu einer Frage zwar eine Antwort, jedoch weiß ich nicht, ob das alles ist.
Frage:
" Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen partieller und totaler Differenzierbarkeit".
Ich würde auf diese Frage einfach die beiden Defínitionen aufschreiben und aus der Definition der totalen Diff'barkeit ist ersichtilich, dass diese nur gilt , wenn die partielle schon gegeben ist.
Gibt es noch andere Tatsachen, die ich umbedingt erwähnen sollte? Zum Beispiel den Zusammenhang mit der Stetigkeit?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 So 03.08.2008 | | Autor: | Framl |
> Guten Morgen!
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Morgen 
> Ich arbeite gerade ein Prüfungsprotokoll durch und hätte zu
> einer Frage zwar eine Antwort, jedoch weiß ich nicht, ob
> das alles ist.
>
> Frage:
>
> " Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen partieller und
> totaler Differenzierbarkeit".
>
> Ich würde auf diese Frage einfach die beiden Defínitionen
> aufschreiben und aus der Definition der totalen
> Diff'barkeit ist ersichtilich, dass diese nur gilt , wenn
> die partielle schon gegeben ist.
>
Hier würde ich dann noch erwähnen, dass aus partieller Diffbarkeit und Stetigkeit der partiellen Ableitungen die totale Diffbarkeit folgt und die lineare Approximation (d.h. die Jacobi-Matrix) dann aus den partiellen Ableitungen besteht.
> Gibt es noch andere Tatsachen, die ich umbedingt erwähnen
> sollte? Zum Beispiel den Zusammenhang mit der Stetigkeit?
>
Vll. ist erwähnenswert, dass die totale Diffbarkeit erst den theoretisch nötigen Diffbarkeitsbegriff liefert (d.h. Approximierbar durch eine linaere Abbildung) und das dafür die partielle Diffbarkeit nicht ausreicht. Partiell diffbare Funktionen müssen ja nicht mal stetig sein.
> Vielen Dank!
>
> Viele Grüße
> Irmchen
>
Gruß Framl
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> Morgen
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> > Hier würde ich dann noch erwähnen, dass aus partieller
> > Diffbarkeit und Stetigkeit der partiellen Ableitungen die
> > totale Diffbarkeit folgt und die lineare Approximation
> > (d.h. die Jacobi-Matrix) dann aus den partiellen
> > Ableitungen besteht.
>
> Ja, das hätte ich noch irgendwie dazwischen geschaltet
> .
> Dazu aber noch kurz zwei Fragen aus dem
> Prüfungsprotokoll:
>
> 1. " Wie sieht die Ableitung einer Funktion [mm]f: \mathbb R^n \to \mathbb R^m[/mm]
> aus?"
>
> Meine Antwort wäre : Funktionalmatrix ( Jacobi - Matrix)
> Richtig?
>
> 2. " Diffinition der Differenzierbarkeit in eindliche -
> dimensionalen normierten Räumen, was ist ie Ableitung? "
>
> Hierzu wüsste ich nicht, was ich antworten sollte :-( ...
> Was aäre denn hier die richtige Antwort?
> Etwa eine lineare Abbildung? Wenn ja, warum?
>
>
> > Vll. ist erwähnenswert, dass die totale Diffbarkeit erst
> > den theoretisch nötigen Diffbarkeitsbegriff liefert (d.h.
> > Approximierbar durch eine linaere Abbildung) und das dafür
> > die partielle Diffbarkeit nicht ausreicht. Partiell
> > diffbare Funktionen müssen ja nicht mal stetig sein.
>
> Das partielle diffbare Fkt nicht stetig sein müssen, ist
> mir klar, aber das davor nicht? Was meinst Du damit genau?
Ich sollte zwar nicht anstelle von Framl antworten (vielleicht wird er Dir noch selbst antworten), aber ich glaube immerhin zu erkennen, dass er nur nochmals sagen wollte, dass Differenzierbarkeit von $f$ an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] primär einmal über die lineare Approximierbarkeit von $f$ an dieser Stelle definiert ist und dass der zwar für das praktische Rechnen oft sehr wichtige Begriff der partiellen Differenzierbarkeit an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] erheblich schwächer ist, so dass aus partieller Differenzierbarkeit (totale) Differenzierbarkeit nicht zu folgen braucht.
Der eigentlich erstaunliche Satz ist dann der, dass, falls die partiellen Ableitungen von $f$ in einer ganzen Umgebung von [mm] $x_0$ [/mm] existieren und in dieser Umgebung stetig sind, $f$ in [mm] $x_0$ [/mm] (ja einer ganzen Umgebung von [mm] $x_0$) [/mm] sogar (total) differenzierbar ist.
Lass mich bei dieser Gelegenheit noch auf eine Formulierung zurückkommen, mit dem ich möglicherweise in einem früheren Thread (letzter Abschnitt) zu diesem Thema eher Verwirrung gestiftet haben könnte: was [mm] $f\in\mathcal{C}^1$ [/mm] genau bedeutet, wird von verschiedenen Autoren auf unterschiedliche Weise definiert.
Harro Heuser definiert dies in seinem "Lehrbuch der Analysis", Teil 2, Seite 250, so:
Ist $G$ eine nichtleere offene Teilmenge des [mm] $\IR^n$ [/mm] und $m$ eine natürliche Zahl, so bezeichen wir mit [mm] $\mathcal{C}^m(G)$ [/mm] die Menge aller Funktionen [mm] $f:G\rightarrow \IR$, [/mm] die auf $G$ definiert und deren partiellen Ableitungen der Ordnung [mm] $\leq [/mm] m$ alle auf $G$ vorhanden und stetig sind.
Herbert Amann und Joachim Escher definieren dies in "Analysis II" jedoch so:
Ist [mm] $f:X\rightarrow [/mm] F$ in jedem Punkt [mm] $x\in [/mm] X$ differenzierbar, so heisst $f$ differenzierbar, und die Abbildung
[mm] [center]$\partial [/mm] f: [mm] X\rightarrow \mathcal{L}(E,F), x\mapsto \partial [/mm] f(x)$[/center]
ist die Ableitung von $f$.
Da [mm] $\mathcal{L}(E,F)$ [/mm] ein Banachraum ist, kann sinnvollerweise von der Stetigkeit der Ableitung gesprochen werden. Ist [mm] $\partial [/mm] f$ stetig, d.h. gilt [mm] $\partial f\in \mathcal{C}(X,\mathcal{L}(E,F)$, [/mm] so heisst $f$ stetig differenzierbar. Wir setzen
[mm]\mathcal{C}^1 (X,F) := \{f:X\rightarrow F ; f \text{ ist stetig differenzierbar}\}[/mm]
Wie man sehen kann, definieren Amann und Escher [mm] $f\in \mathcal{C}^1$ [/mm] nicht über die partiellen Ableitungen von $f$ und deren Stetigkeit sondern ausschliesslich über die (totale) Ableitung [mm] $\partial [/mm] f$ und deren Stetigkeit. Ich hatte mich in meiner letzten Antwort zu diesem Thema offenbar mehr an Amann/Escher als an Heuser angelehnt. Der Unterschied in der Definition ist eher subtil, dennoch ist meine damalige Bemerkung für manche (eventuell auch für Dich) nur aufgrund dieser Differenz überhaupt verstehbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 So 03.08.2008 | | Autor: | Framl |
> > Morgen
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> > > Hier würde ich dann noch erwähnen, dass aus partieller
> > > Diffbarkeit und Stetigkeit der partiellen Ableitungen die
> > > totale Diffbarkeit folgt und die lineare Approximation
> > > (d.h. die Jacobi-Matrix) dann aus den partiellen
> > > Ableitungen besteht.
> >
> > Ja, das hätte ich noch irgendwie dazwischen geschaltet
> > .
> > Dazu aber noch kurz zwei Fragen aus dem
> > Prüfungsprotokoll:
> >
> > 1. " Wie sieht die Ableitung einer Funktion [mm]f: \mathbb R^n \to \mathbb R^m[/mm]
> > aus?"
> >
> > Meine Antwort wäre : Funktionalmatrix ( Jacobi - Matrix)
> > Richtig?
> >
> > 2. " Diffinition der Differenzierbarkeit in eindliche -
> > dimensionalen normierten Räumen, was ist ie Ableitung? "
> >
> > Hierzu wüsste ich nicht, was ich antworten sollte :-( ...
> > Was aäre denn hier die richtige Antwort?
> > Etwa eine lineare Abbildung? Wenn ja, warum?
> >
> >
> > > Vll. ist erwähnenswert, dass die totale Diffbarkeit erst
> > > den theoretisch nötigen Diffbarkeitsbegriff liefert (d.h.
> > > Approximierbar durch eine linaere Abbildung) und das dafür
> > > die partielle Diffbarkeit nicht ausreicht. Partiell
> > > diffbare Funktionen müssen ja nicht mal stetig sein.
> >
> > Das partielle diffbare Fkt nicht stetig sein müssen, ist
> > mir klar, aber das davor nicht? Was meinst Du damit genau?
>
> Ich sollte zwar nicht anstelle von Framl antworten
> (vielleicht wird er Dir noch selbst antworten), aber ich
> glaube immerhin zu erkennen, dass er nur nochmals sagen
> wollte, dass Differenzierbarkeit von [mm]f[/mm] an der Stelle [mm]x_0[/mm]
> primär einmal über die lineare Approximierbarkeit von [mm]f[/mm] an
> dieser Stelle definiert ist und dass der zwar für das
> praktische Rechnen oft sehr wichtige Begriff der partiellen
> Differenzierbarkeit an der Stelle [mm]x_0[/mm] erheblich schwächer
> ist, so dass aus partieller Differenzierbarkeit (totale)
> Differenzierbarkeit nicht zu folgen braucht.
> Der eigentlich erstaunliche Satz ist dann der, dass, falls
> die partiellen Ableitungen von [mm]f[/mm] in einer ganzen Umgebung
> von [mm]x_0[/mm] existieren und in dieser Umgebung stetig sind, [mm]f[/mm] in
> [mm]x_0[/mm] (ja einer ganzen Umgebung von [mm]x_0[/mm]) sogar (total)
> differenzierbar ist.
>
Ich hätte es nicht besser sagen können
Gruß Framl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 So 03.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Erstmal, vielen Dank auch an Somebody für die ausführliche Antwort!
Ich denke, dass ich jetzt recht gut alles verstanden habe... Dennoch bleiben diese zwei Sachen, wo ich nicht weiß, ob ich da richtig liege...
Und zwar:
> 1. " Wie sieht die Ableitung einer Funktion [mm]f: \mathbb R^n \to \mathbb R^m[/mm]
> aus?"
Meine Antwort wäre : Funktionalmatrix ( Jacobi - Matrix)
Richtig?
> 2. " Diffinition der Differenzierbarkeit in eindliche -
> dimensionalen normierten Räumen, was ist ie Ableitung? "
Hierzu wüsste ich nicht, was ich antworten sollte :-( ...
Was wäre denn hier die richtige Antwort?
Etwa eine lineare Abbildung? Wenn ja, warum?
Vielen Dank!
Viele Grüße
irmchen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 So 03.08.2008 | | Autor: | Framl |
> Erstmal, vielen Dank auch an Somebody für die ausführliche
> Antwort!
> Ich denke, dass ich jetzt recht gut alles verstanden
> habe... Dennoch bleiben diese zwei Sachen, wo ich nicht
> weiß, ob ich da richtig liege...
>
> Und zwar:
>
> > 1. " Wie sieht die Ableitung einer Funktion [mm]f: \mathbb R^n \to \mathbb R^m[/mm]
> > aus?"
>
> Meine Antwort wäre : Funktionalmatrix ( Jacobi - Matrix)
> Richtig?
>
Genau. Vielleicht noch sagen, wie die Matrix aussieht. Also wieviel Spalten und Zeilen und wenn es noch nicht gesagt wurde vorher, dass als Einträge die part. Ableitungen stehen.
> > 2. " Diffinition der Differenzierbarkeit in eindliche -
> > dimensionalen normierten Räumen, was ist ie Ableitung? "
>
> Hierzu wüsste ich nicht, was ich antworten sollte :-( ...
> Was wäre denn hier die richtige Antwort?
> Etwa eine lineare Abbildung? Wenn ja, warum?
>
>
Im 1-dim Fall ist die Ableitung ineinem Punkt (falls $f$ dort diffbar ist) ja die Steigung der Tangente, also eine lineare Abbildung (die Tangente ist natürlich verschoben, also streng genommen affin-linear). Im mehrdimensionalen Fall ist es ja genauso. Du wertest die Matrix an einem Punkt aus und dann hast du eine [mm] $n\times [/mm] m-$Matrix mit "Zahlen" als Einträge. Das ist dann wieder eine lineare Abbildung.
Die Steigung einer Tangente ist ja eigentlich auch nur eine [mm] $1\times [/mm] 1-$Matrix
Gruß Framl
>
>
> Vielen Dank!
>
> Viele Grüße
> irmchen
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:31 So 03.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Vielen Dank!
Das mit der Funktionalmatrix habe ich nun daruf, und das mit der Ableitung im endliche dimensionalen auch soweit...
Aber, wenn ich das richtig sehe, dann ist doch ein endlich dimensionaler normierter Raum ein Banach- Raum.. Warum ist denn da die Ableitung eine lineare Abbildung?? Das einzige was ich mir drunter vorstellen kann, ist, dass ich weiß, dass der Raum C[0,1] auch ein Banach-Raum ist und ich weiß, dass eben Ableitungen stetiger Funktionen von dem kompakten Intervall auf die reellen Zahlen einfache lineare Abbildungen darstellen... Würde das reichen, als Antwort?
Viele Grüße
Irmchen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 So 03.08.2008 | | Autor: | Framl |
> Hallo!
>
> Vielen Dank!
> Das mit der Funktionalmatrix habe ich nun daruf, und das
> mit der Ableitung im endliche dimensionalen auch soweit...
>
> Aber, wenn ich das richtig sehe, dann ist doch ein endlich
> dimensionaler normierter Raum ein Banach- Raum..
...und vollständig muss er sein!
> Warum ist
> denn da die Ableitung eine lineare Abbildung?? Das einzige
> was ich mir drunter vorstellen kann, ist, dass ich weiß,
> dass der Raum C[0,1] auch ein Banach-Raum ist und ich weiß,
> dass eben Ableitungen stetiger Funktionen von dem kompakten
> Intervall auf die reellen Zahlen einfache lineare
> Abbildungen darstellen... Würde das reichen, als Antwort?
>
Ich versteh die Frage nicht so ganz, deshalb auch die Antwort nur als Mitteilung.
Ging es in dieser Frage:
2. " Diffinition der Differenzierbarkeit in eindliche -
dimensionalen normierten Räumen, was ist ie Ableitung? "
nicht um eine Funktion, die aus einen solchen Raum abbildet? Also z.B. dem [mm] $\mathbb{R}^n!?$ [/mm]
Gruß Framl
> Viele Grüße
> Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 So 03.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Sorry, ich habe das ganze zu kompliziert gedacht, aber schon längst mit Deiner Antwort jeder Frage beantwortet . Danke!
Leider weiß ich nicht, wie ich den Status der Frage ändern kann, deswegen dies als Mitteilung!
Viele Grüße
Irmchen
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