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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Di 12.02.2008 | | Autor: | mari-o |
| Aufgabe | Durch die Funktion f mit [mm] f(t)=0,02t^2 \cdot e^{-0,1t} [/mm] wird das Wachstum einer Fichte in Abhängigkeit von der Zeit t ( gemessen in Jahren ) beschrieben.[...]
c) Zeigen Sie, dass durch [mm] F(t)=-0,2\cdot [/mm] ( [mm] t^2 [/mm] + 20t + 200 ) [mm] \cdot e^{-0,1t} [/mm] eine Stammfunktion von f gegeben ist. ( geeignetes Integrationsverfahren ) |
Guten Tag, allerseits. Das ist mein erster Beitrag im Matheraum und ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
Also..die Aufgabe haben wir in der Schule schon besprochen, allerdings bin ich irgendwo mittendrin hängengeblieben.
Als Lösungsweg haben wir den der partiellen Integration festgelegt.
[mm] \integral_{a}^{b} 0,02t^2 \cdot e^{-0,1t}\, [/mm] dt
= [mm] 0,02t^2 \cdot (-10e^{-0,1t}) [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] 0,04t [mm] \cdot (-10e^{-0,1t})\, [/mm] dt
So. Das war jetzt das ganz normale Einsetzen in die Formel. Nichts schweres. Das hab ich auch soweit verstanden. Jetzt geht es allerdings mit einer erneuten partiellen Integration weiter. Hierzu: 1. Ich verstehe absolut nicht woran ich erkenne wann ich erneut partiell integrieren muss. 2. Wie geht es weiter? Wie komme ich auf die o.g. Stammfunktion?
Danke für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Di 12.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du eine Funktion partiell integrierst (Das geht übrigens nur bei Integralen der Form [mm] \integral{f*g}, [/mm] kann es sein, dass das Integral, was entsteht, wieder per partieller Integration zu lösen ist.
[mm] \integral0,02t^{2}*e^{-0,1t}dt
[/mm]
[mm] =0,02t^{2}*(-10e^{-0,1t})-\integral0,04t(-10e^{-0,1t})dt
[/mm]
Und von dem hinteren Integral wendest du wioeder die partielle integration an.
Also:
[mm] \integral0,02t^{2}*e^{-0,1t}dt
[/mm]
[mm] =0,02t^{2}*(-10e^{-0,1t})-\integral0,04t(-10e^{-0,1t})dt
[/mm]
[mm] =0,02t^{2}*(-10e^{-0,1t})-[0,04t(100e^{-0,1t})-\integral0,04*(-10e^{-0,1t}dt)]
[/mm]
[mm] =0,02t^{2}*(-10e^{-0,1t})-[0,04t(100e^{-0,1t})-4\integral{e^{-0,1t}dt})]
[/mm]
[mm] =0,02t^{2}*(-10e^{-0,1t})-[0,04t(100e^{-0,1t})-4(-10e^{-0,1t})]
[/mm]
[mm] =0,02t^{2}*(-10e^{-0,1t})-[4te^{-0,1t})+40e^{-0,1t}]
[/mm]
[mm] =0,02t^{2}*(-10e^{-0,1t})-4te^{-0,1t})-40e^{-0,1t}
[/mm]
[mm] =-0,2t^{2}e^{-0,1t}-4te^{-0,1t}-40e^{-0,1t}
[/mm]
[mm] =e^{-0,1t}[-0,2t^{2}-4t-40]
[/mm]
[mm] =-0,2e^{-0,1t}(t²+20t+200)
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Di 12.02.2008 | | Autor: | mari-o |
hey..danke für die schnelle antwort..habe auch eig alles verstanden und selbst nochmal nachgerechnet..aber eine frage stellt sich mir noch..bei der zweiten partiellen integration greift doch erneut die regel, dass man das zuvor festgelegte v'(x) zu v(x) aufleitet, also würde bei meiner rechnung am ende der letzten zeile genauso wie in der mitte der ausdruck [mm] 100e^{-0,1t} [/mm] rauskommen. allerdings hast du am ende der zeile den ausdruck [mm] 10e^{-0,1t} [/mm] ermittelt..warum das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Di 12.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Stammfunktion von [mm] e^{-0,1t} [/mm] ist ja [mm] -10e^{-0,1t}
[/mm]
Alles andere habe ich in dem Vorfaktor zusammengefasst. das solltest du eigentlich auch immer tun, bevor du irgendwie weiterrechnest.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Di 12.02.2008 | | Autor: | mari-o |
ich glaube wir reden aneinander vorbei;)
ich versuche nochmal meine frage klarer zu formulieren..
also als ergebnis der ersten partiellen integration bekomme ich folgendes ergebnis: $ [mm] =0,02t^{2}\cdot{}(-10e^{-0,1t})-\integral0,04t(-10e^{-0,1t})dt [/mm] $ soo..mit dem hinteren teil ( [mm] \integral0,04t(-10e^{-0,1t})dt [/mm] ) mache ich eine erneute partielle integration, wobei der letzte teil des terms im gegensatz zu deinem einen kleinen unterschied aufweist;)
dein term der zweiten part. integration:
[mm] [0,04t(100e^{-0,1t})-\integral0,04\cdot{}(-10e^{-0,1t}dt)] [/mm] $
mein term der zweiten part. integration:
[mm] [0,04t(100e^{-0,1t})-\integral0,04\cdot{}(-100e^{-0,1t}dt)] [/mm] $
bei meinem term ist hinten also wieder ( wie auch in der mitte ) eine "100" und ich frage dich warum du eine "10" da stehen hast;)
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Hallo, schaue dir mal bitte meine Mitteilung an, Marius hat dort einen Fehler, durch's Kopieren, bei dir stimmt das Vorzeichen "minus" vor der 100 noch nicht:
[mm] v=100e^{-0,1t}
[/mm]
[mm] v'=100e^{-0,1t}*(-0,1)=-10e^{-0,1t}
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Di 12.02.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo Marius, beim Kopieren ist dir ein kleiner Fehler unterlaufen, du schreibst:
[mm] 0,02t^{2}\cdot{}(-10e^{-0,1t})-[0,04t(100e^{-0,1t})-\integral0,04\cdot{}(-10e^{-0,1t}dt)]
[/mm]
aber so lautet es:
[mm] 0,02t^{2}\cdot{}(-10e^{-0,1t})-[0,04t(100e^{-0,1t})-\integral0,04\cdot{}(100e^{-0,1t}dt)]
[/mm]
dann stimmt ja alles wieder
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Di 12.02.2008 | | Autor: | mari-o |
hallo steffi..ja..genauso habe ich es auch..so, dass zweimal die 100 auftaucht..in der mitte und am ende des terms..das problem ist nur, dass so bei mir nicht das richtige endergebnis rauskommt. das käme aber mit marius' lösung heraus
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Hallo,
nach der 1. partiellen Integration
[mm] 0,02t^{2}*(-10e^{-0,1t})-[0,04t(100e^{-0,1t})-\integral0,04\cdot{}(100e^{-0,1t}dt)] [/mm]
[mm] =-0,2t^{2}e^{-0,1t}-[0,04t(100e^{-0,1t})-4\integral_{}^{}{e^{-0,1t} dx}] [/mm]
[mm] =-0,2t^{2}e^{-0,1t}-[4te^{-0,1t}-4\integral_{}^{}{e^{-0,1t} dx}] [/mm]
[mm] =-0,2t^{2}e^{-0,1t}-[4te^{-0,1t}-4(-10)e^{-0,1t}] [/mm]
[mm] =-0,2t^{2}e^{-0,1t}-[4te^{-0,1t}+40e^{-0,1t}] [/mm]
[mm] =-0,2t^{2}e^{-0,1t}-4te^{-0,1t}-40e^{-0,1t}
[/mm]
[mm] =-0,2e^{-0,1t}(t^{2}+20t+200)
[/mm]
Steffi
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