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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 So 12.12.2004 | | Autor: | Mais |
Hallo, hallo!
Ich bitte um Hilfe bei dieser Aufgabe hier:
(a) P sei eine Menge und [mm] \le [/mm] eine partielle Ordnung auf P.
Jede linear geordnete Teilmenge von P besitzt eine obere Schranke in P.
Es gilt: a [mm] \in [/mm] P.
Beweise (zeige): Es existiert ein maximales Element b von P mit a [mm] \le [/mm] b.
(b) K ist ein Körper und V ein K-Vektorraum.
Es sei a [mm] \in [/mm] V, wobei a [mm] \not= [/mm] 0.
Zeige, dass es einen Untervektorraum U von V gibt mit:
1) a [mm] \not\in [/mm] U.
2) Ist Z ein Untervektorraum von V, der U als eine echte Teilmenge enthält, so gilt: a [mm] \in [/mm] Z.
Zu der (b) hab ich eine Idee, weiß aber nicht, ob sie stimmt:
zu der 1): wenn a [mm] \not\in [/mm] U gilt, so heißt es doch, dass U nur die leere Menge enthält, oder? Weil a [mm] \not= [/mm] 0, heißt das doch, dass in U nur das Element {0} enthalten ist, also die leere Menge.
Aber widerspricht sich das nicht? Wenn die 0 in V nicht enthalten ist, kann sie doch auch nicht in U enthalten sein, oder?
zu der 2): W ist ja Untervektorraum von V, der U enthält, das heißt doch, dass W auch die "0" enthält, die in U enthalten ist, aber auch die x, die in V enthalten sind.
Ich hoffe, ihr versteht, was ich meine.
Sind meine Ansätze richtig?
Zu der Aufgabe a) hab ich leider keine Idee, wie ich das beweisen soll.
tipps würden mir auch helfen.
Danke für eure Mühe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 So 12.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Mais!
> Zu der (b) hab ich eine Idee, weiß aber nicht, ob sie stimmt:
Das ist schonmal gut, danke! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zu der 1): wenn a $ [mm] \not\in [/mm] $ U gilt, so heißt es doch, dass U nur die leere Menge enthält, oder?
Nein, das ist nicht richtig. Du sollst zeigen, dass für jedes beliebige [mm] $a\in [/mm] V$ Unterräume [mm] $U\subset Z\subseteq [/mm] V$ so existieren, dass [mm] $a\notin [/mm] U$, aber [mm] $a\in [/mm] Z$ gilt. Du sollst nicht zeigen, dass es zwei Unterräume U und Z gibt, sodass für alle a die obigen Aussagen zutreffen. Ich nehme an, dass hier dein Denkfehler lag.
> dass in U nur das Element {0} enthalten ist, also die leere Menge.
Die Menge [mm] $\{0\}$ [/mm] ist nicht die leere Menge, sondern die Menge, die nur das Nullelement beinhaltet. Die leere Menge ist [mm] $\emptyset:=\{\}$.
[/mm]
Nun ein paar Anregungen meinerseits:
Die Eigenschaft (1) lässt sich leicht erfüllen. Du wählst den Unterraum U so aus, dass nicht alle Basisvektoren von V, die in der Linearkombination von a vorkommen, in U enthalten sind. Dann kann a nicht in U liegen. Daraus folgt auch sofort, dass U höchstens die Dimension $dim(V)-1$ hat. Der in (2) gesuchte Unterraum Z muss nach Definition die Basisvektoren von U enthalten, darüber hinaus aber noch diejenigen, die zur Linearkombination von a fehlen. Da nach Konstruktion von U in jedem Falle ein Basisvektor fehlt, ist in jedem Falle $dim(Z)>dim(U)$ und wegen [mm] $U\subseteq [/mm] Z$ folglich auch [mm] $U\subset [/mm] Z$. Damit hast du zwei Untervektorräume U und Z den Forderungen gemäß konstruiert.
Wenn noch etwas unklar ist, dann frage bitte nach.
Liebe Grüße,
Hanno
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