partielle Integration < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Di 15.03.2011 | | Autor: | physicus |
Hallo Forum
Ich habe eine Frage zur partiellen Integration im $\ [mm] \IR^n [/mm] $. Wenn ich eine folgendes Integral habe:
[mm] \integral_{\IR^n}{ \exp{(-i \tau x)} \partial^{\alpha} u(x) dx} [/mm].
Nun würde ich gerne eine partielle Integration anwenden. Die Funktion $\ u $ ist aus dem Schwartz-Raum. Nun zu meiner Frage. Wieso darf ich hier partielle Integration anwenden. Dann könnte ich die Ableitungen alle auf die Exponentialableitung schieben und die Randterme würden ja wegfallen.
Aber partielle Integration geht doch im $\ [mm] \IR^n [/mm] $ nur über offene, beschränkte Teilmengen. Wenn die Fuktion $\ u $ kompakten Support hat, wäre mir das ebenfalls klar, aber das muss ja nicht unbedingt der Fall sein. Danke für die Hilfe
Gruss
physicus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Mi 16.03.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Forum
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> Ich habe eine Frage zur partiellen Integration im [mm]\ \IR^n [/mm].
> Wenn ich eine folgendes Integral habe:
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> [mm]\integral_{\IR^n}{ \exp{(-i \tau x)} \partial^{\alpha} u(x) dx} [/mm].
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> Nun würde ich gerne eine partielle Integration anwenden.
> Die Funktion [mm]\ u[/mm] ist aus dem Schwartz-Raum. Nun zu meiner
> Frage. Wieso darf ich hier partielle Integration anwenden.
> Dann könnte ich die Ableitungen alle auf die
> Exponentialableitung schieben und die Randterme würden ja
> wegfallen.
> Aber partielle Integration geht doch im [mm]\ \IR^n[/mm] nur über
> offene, beschränkte Teilmengen.
Da ist es einfacher nachzuweisen, weil die Integration über beschränkte Gebiete immer linear ist. Bei Integralen über unbeschränkte Gebiete gilt dies nicht mehr automatisch, sondern nur, wenn die Einzelintegrale existieren.
Genauer gesagt, da die Identität
[mm] \partial^{\alpha} (\exp{(-i \tau x)} u(x)) = (\partial^{\alpha}\exp{(-i \tau x)}) u(x) + \exp{(-i \tau x)} \partial^{\alpha} u(x) [/mm]
im Ganzen [mm] $\IR^n$ [/mm] gilt (sofern die Ableitungen existieren), ist auch
[mm]\integral_{\IR^n}{ \exp{(-i \tau x)} \partial^{\alpha} u(x) dx} = \integral_{\IR^n} (\partial^{\alpha} (\exp{(-i \tau x)} u(x))-(\partial^{\alpha}\exp{(-i \tau x)}) u(x)) dx = \integral_{\IR^n} \partial^{\alpha} (\exp{(-i \tau x)} u(x)) dx - \integral_{\IR^n} (\partial^{\alpha}\exp{(-i \tau x)}) u(x) dx [/mm] ,
sofern alle diese Integrale existieren. Letzteres ist notwendig, damit du das Integral über die Differenz als Differenz der Integrale schreiben kannst.
Viele Grüße
Rainer
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