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| Aufgabe | 1) partielle Integration
a) [mm] \integral_{0}^{\pi/2}{x*cos(x) dx} [/mm] u`=cos(x), v=x
b) [mm] \integral_{}^{}{x*(lnx)^2 dx} [/mm] u`=?, v=? |
Hallo,
zu a): Wie kann ich das denn berechnen? Meine Formel für partielle Integration ist:
[mm] \integral_{}^{}{u'(x)v(x) dx}=u(x)v(x)-\integral_{}^{}{u(x)v'(x) dx}
[/mm]
Also wäre das jetzt in meinem Fall:
[mm] sin(x)*x-\integral_{}^{}{sin(x)*1 dx} [/mm] oder? Jetzt ist nur noch das Problem, dass das vorgegebene ja ein bestimmtes Integral war. Wie mache ich das denn jetzt damit?
zu b) Wie wähle ich denn jetzt u' und v? Eins ist ja wohl x und eins [mm] (lnx)^2, [/mm] aber welches ist welches? Oder ist das egal?
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Fr 27.06.2008 | | Autor: | djmatey |
> 1) partielle Integration
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> a) [mm]\integral_{0}^{\pi/2}{x*cos(x) dx}[/mm] u'=cos(x), v=x
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> b) [mm]\integral_{}^{}{x*(lnx)^2 dx}[/mm] u'=?, v=?
> Hallo,
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> zu a): Wie kann ich das denn berechnen? Meine Formel für
> partielle Integration ist:
>
> [mm]\integral_{}^{}{u'(x)v(x) dx}=u(x)v(x)-\integral_{}^{}{u(x)v'(x) dx}[/mm]
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> Also wäre das jetzt in meinem Fall:
>
> [mm]sin(x)*x-\integral_{}^{}{sin(x)*1 dx}[/mm] oder? Jetzt ist nur
> noch das Problem, dass das vorgegebene ja ein bestimmtes
> Integral war. Wie mache ich das denn jetzt damit?
Guten Mooorgen! 
Das stimmt so. Wenn Du Integralsgrenzen a und b hast, setzt Du sie erst in den ersten Teil ein, als ob Du ein "normales" Integral ausrechnen würdest, also
[mm] \vmat{sin(x) \* x}^{b}_{a}-\integral_{a}^{b}{sin(x) dx}
[/mm]
>
> zu b) Wie wähle ich denn jetzt u' und v? Eins ist ja wohl x
> und eins [mm](lnx)^2,[/mm] aber welches ist welches? Oder ist das
> egal?
Ziel ist ja eigentlich immer, nach möglichst wenigen Schritten das Integral loszuwerden. Das schaffst Du, indem Du nur noch eine Funktion statt eines Produktes von Funktionen unterm Integral stehen hast. Du musst also in Deiner o.g. Formel v als die Funktion wählen, die beim (n-fachen) ableiten verschwindet bzw. 1 wird, also in diesem Fall v(x) = x, denn dann hast Du im nächsten Schritt kein Produkt mehr unterm Integral stehen.
>
> Viele Grüße,
> Anna
LG djmatey
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Hallo,
danke schonmal,
aber wie ich da jetzt die Intervallgrenzen einsetzen kann, habe ich noch nicht so recht verstanden. Ich habe also:
[mm] \vmat{sin(x) \* x}^{b}_{a}-\integral_{a}^{b}{sin(x) dx}
[/mm]
>
Und jetzt setze ich ein mit der normalen Integralformel für bestimmte Integrale:
[mm] \vmat{sin(x) \* x}^{b}_{a}-(-cos(\pi/2)-(-cos(0)))
[/mm]
Ist das so richtig? Ist überhaupt -cos(x) die Stammfunktion von sin(x)? Aber was denn sonst? und was ist jetzt mit dem ersten Teil, bei dem immernoch x drinnensteht? Wie setze ich denn da die Intervallgrenzen ein? Wäre super, wenn mir das nochmal jemand erklären könnte...
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 Sa 28.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Das hast Du bisher richtig gerechnet. Und beim vorderem rterm setzt du nun genauso die Grenzen ein: jeweils für $x_$ die Werte [mm] $\bruch{\pi}{2}$ [/mm] bzw. $0_$ .
Gruß
Loddar
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Hallo,
Ah, ok. Die Frage ist nur, wie ich das in das erste einsetze:
Sieht der Term dann so aus:
[mm] sin(\pi/2)*(\pi/2)+sin(0)*0-(-cos(\pi/2)-(-cos(0))) [/mm] ???
Oder muss ich von dem ersten Teil auch noch die Stammfunktion berechenen? Aber eigentlich nicht, oder? Denn da steht doch gar kein Integral mehr drum rum. Dann wüsste ich auch gar nicht, wie man das machen sollte.
??
Viele Grüße,
Anna
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> Sieht der Term dann so aus:
>
> [mm]sin(\pi/2)*(\pi/2)+sin(0)*0-(-cos(\pi/2)-(-cos(0)))[/mm] ???
Hallo,
fast.
Das erste + muß ein - sein:
[mm]sin(\pi/2)*(\pi/2)\red{-}sin(0)*0-(-cos(\pi/2)-(-cos(0)))[/mm]
>
> Oder muss ich von dem ersten Teil auch noch die
> Stammfunktion berechenen? Aber eigentlich nicht, oder? Denn
> da steht doch gar kein Integral mehr drum rum.
Eben.
Du bist fertig, bis auf daß Du das, was oben steht nun noch ausrechnen mußt.
Gruß v. Angela
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