partielle Integration? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Mo 15.01.2007 | | Autor: | rem |
| Aufgabe | Berechnen sie [mm] f_{xx}, f_{xy},f_{yx} [/mm] und [mm] f_{yy} [/mm] für die folgenden Funktionen f(x,y):
a) [mm] f(x,y)=\frac{x^{2}}{1+y^{2}} [/mm] |
Hallo
Ich habe von dieser Aufgabe nicht die leiseste Ahnung. Ich habe sie zwar hier vorgerechnet liegen, aber irgendwie werd ich ned schlau daraus.
Ich weiß nicht einmal ob das hier das richtige Subforum ist.
Auf dem Aufgabezettl welcher diese Aufgabe beinhaltet, steht es zumindest unter "Skalarfelder und partielle Integration", obwohl es für mich eher was mit Ableiten zu tun hat.
Also gut:
[mm] f(x,y)\bruch{x^{2}}{1+y^{2}} [/mm] = [mm] x^{2}(1+y^{2})^{-1}
[/mm]
noch alles klar soweit :)
Dann
[mm] f_{x}=2x(1+y^{2})^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{2x}{1+y^{2}}
[/mm]
Ok hier wurde scheinbar nach x abgeleitet.
[mm] f_{xx}= \bruch{2}{1+y^{2}}
[/mm]
Und hier noch einmal!
Doch jetzt kommts:
[mm] f_{xy}=2x(1+y^{2})^{-2}*2y= [/mm] - [mm] \bruch{4}{(1+y^{2})^{2}} =f_{yx}
[/mm]
Hä, warum "hoch minus 2"?
Weiters:
[mm] f_{y}= -\bruch{2x^{2}y}{(1+y^{2})^{2}}
[/mm]
und was ist das jetzt?
Zu guter letzt:
[mm] f_{yy}= \bruch{8x^{2}y^{2}}{(1+y^{2})^{3}} [/mm] - [mm] \bruch{2x}{(1+y^{2})^{hoch irgendwas, ich kanns ned lesen :)}}
[/mm]
Bitte kann mir das jemand Schritt für Schritt erklären! Ich würde das gerne verstehen und selber rechnen können ...
mfg
rem
BTW: Ich hoffe ich hab jetzt keine Fehler beim Eingeben gemacht.
|
|
| |
|
> Berechnen sie [mm]f_{xx}, f_{xy},f_{yx}[/mm] und [mm]f_{yy}[/mm] für die
> folgenden Funktionen f(x,y):
>
> a) [mm]f(x,y)=\frac{x^{2}}{1+y^{2}}[/mm]
Hallo,
> Dann
folgt [mm] f_x. [/mm]
[mm] f_x [/mm] bedeutet, daß man nach x ableitet, die y werden hier wie Konstanten betrachtet.
>
> [mm]f_{x}=2x(1+y^{2})^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{2x}{1+y^{2}}[/mm]
> Ok hier wurde scheinbar nach x abgeleitet.
Nicht scheinbar, sondern wirklich.
>
> [mm]f_{xx}= \bruch{2}{1+y^{2}}[/mm]
> Und hier noch einmal!
Genau. [mm] f_{xx} [/mm] ist die Ableitung von [mm] f_x [/mm] nach x.
Es folgt [mm] f_{xy}. [/mm] Hier wird [mm] f_x [/mm] nach y abgeleitet. jetzt ist die Variable also y, und die x werden wie Konstanten behandelt.
>
> Doch jetzt kommts:
> [mm]f_{xy}=2x(1+y^{2})^{-2}*2y=[/mm] - [mm]\bruch{4}{(1+y^{2})^{2}} =f_{yx}[/mm]
>
> Hä, warum "hoch minus 2"?
Naja, [mm] f_{x}=2x(1+y^{2})^{-1}, [/mm] und wenn ich das nach y ableite...
Abenteuerlich ist's trotzdem.
Richtig heißt es [mm] f_{xy}=-2x(1+y^{2})^{-2}*2y=-\bruch{4xy}{(1+y^{2})^{2}}
[/mm]
Fragen solltest Du nun noch: Hä? Warum steht da oben noch [mm] =f_{yx}?
[/mm]
Weil es egal ist, ob Du zuerst nach x und dann nach y ableitest oder andersrum. Es kommt dasselbe heraus, so daß man [mm] f_{yx} [/mm] nicht gesondert berechnen muß. (Ich mach's doch gern zur Kontrolle.)
>
> Weiters:
> [mm]f_{y}= -\bruch{2x^{2}y}{(1+y^{2})^{2}}[/mm]
>
> und was ist das jetzt?
[mm] f_y [/mm] ist die Ableitung von f nach y. Die x werden wie Konstanten behandelt, und es wird nach y abgeleitet:
[mm] f(x,y)=\frac{x^{2}}{1+y^{2}}=x^{2}(1+y^{2})^{-1}
[/mm]
Nun nach y ableiten: [mm] f_y(x,y)=x^2*(-1)(1+y^{2})^{-2}*(2y)=-2x^2y(1+y^{2})^{-2}, [/mm] was dementspricht, was bei Dir steht.
>
> Zu guter letzt:
wird [mm] f_y [/mm] nach y abgeleitet unter Anwendung der Quotientenregel.
Wieder mußt Du x als Konstante betrachten und y als Variable.
[mm] f_{yy}(x,y)= -\bruch{(1+y^{2})^{2}*2x^2-2x^{2}y*2(1+y^{2})*2y}{(1+y^{2})^{4}}
[/mm]
und dann zusammenfassen.
> [mm]f_{yy}= \bruch{8x^{2}y^{2}}{(1+y^{2})^{3}}[/mm] -
> [mm]\bruch{2x}{(1+y^{2})^{hoch irgendwas, ich kanns ned lesen :)}}[/mm]
Mal grob gesagt wird hier die zweite Ableitung einer Funktion nach [mm] \IR, [/mm] welche von zwei Veränderlichen abhängt, vorbereitet, Stichwort: Hessematrix.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
