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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Mo 23.06.2008 | | Autor: | patsch |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Wärmeleitungsgleichung mit k>0 für eine Ortsveränderliche x
[mm] \Delta u-\bruch{1}{k}u_{t} [/mm] = [mm] u_{xx}-\bruch{1}{k}u_{t} [/mm] = 0
durch die Funktion
u(t,x) = [mm] e^{-t} sin(\bruch{x}{\wurzel[2]{k}})
[/mm]
gelöst wird. |
Ist mein Ansatz richtig, in dem ich zuerst die partiellen Ablleitungen erster Ordnung berechne. Wie muss ich dann weiter verfahren?
mfg patsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Mo 23.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Du brauchst :
die partielle Ableitung von u nach t, dann mußt du noch u zweimal mal nach x differenzieren.
Weise nun nach, dass u die DGL erfüllt
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Mo 23.06.2008 | | Autor: | patsch |
Gelten dann diese Ableitungen:
[mm] \bruch{df}{dt} [/mm] = [mm] -e^{-t}sin(\bruch{x}{\wurzel{k}})
[/mm]
[mm] \bruch{df}{dx} [/mm] = [mm] e^{-t}cos(\bruch{x}{\wurzel{k}})
[/mm]
[mm] \bruch{d^{2}f}{dx^{2}}= -e^{-t}sin(\bruch{x}{\wurzel{k}})
[/mm]
Wie weise ich anschließend nach das u die DGL erfüllt?
mfg patsch
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Hallo,
du hast dich bei deinen partiellen Ableitungen nach x verrechnet, ich sage nur Kettenregel und innere Ableitung.
Um nachzuweisen, dass die gegebene Funktion die DGL erfüllt, musst du nur ihre Ableitungen in die DGL einsetzen. Wenn dann auf beiden Seiten dass gleiche steht wir die Funktion die DGL lösen.
lg,
benevonmattheis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mo 23.06.2008 | | Autor: | patsch |
Vielen Dank für die Antwort. Dann sehen die Ableitungen wie folgt aus:
[mm] \bruch{df}{dt} [/mm] = [mm] -e^{-t}sin(\bruch{x}{\wurzel{k}}) [/mm]
[mm] \bruch{df}{dx} [/mm] = [mm] e^{-t}cos(\bruch{x}{\wurzel{k}})\bruch{1} {\wurzel{k}}
[/mm]
[mm] \bruch{d^{2}f}{dx^{2}}= -e^{-t}sin(\bruch{x}{\wurzel{k}})\bruch{1}{k}
[/mm]
Muss ich dann für [mm] u_{xx}=\bruch{d^{2}f}{dx^{2}} [/mm] und [mm] u_{t}=\bruch{df}{dt} [/mm] einsetzen?
mfg patsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Muss ich dann für [mm]u_{xx}=\bruch{d^{2}f}{dx^{2}}[/mm] und
> [mm]u_{t}=\bruch{df}{dt}[/mm] einsetzen?
Ja.
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> Vielen Dank für die Antwort. Dann sehen die Ableitungen wie
> folgt aus:
> [mm]\bruch{df}{dt}[/mm] = [mm]-e^{-t}sin(\bruch{x}{\wurzel{k}})[/mm]
>
> [mm]\bruch{df}{dx}[/mm] = [mm]e^{-t}cos(\bruch{x}{\wurzel{k}})\bruch{1} {\wurzel{k}}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{d^{2}f}{dx^{2}}= -e^{-t}sin(\bruch{x}{\wurzel{k}})\bruch{1}{k}[/mm]
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Grüße Patrick
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 07:38 Di 24.06.2008 | | Autor: | patsch |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Wellengleichung
[mm] \Delta u-\bruch{1}{c^{2}}u_{tt} [/mm] = [mm] u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}-\bruch{1}{c^{2}}u_{tt} [/mm] = 0
durch die Funktion
u(r,t) = [mm] \bruch{1}{r}sin(r-ct)
[/mm]
für r > 0; [mm] r^{2} [/mm] = [mm] x^{2}+y^{2}+z^{2} [/mm] gelöst wird. |
Ich habe bereits probiert für r = [mm] \wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}} [/mm] einzusetzten und diese Funktion u(x,y,z,t) dann jeweils zweimal nach x, y, z und t abzuleiten. Gibt es einen einfachern Weg, da die Ableitungen ziemlich lang werden? Könnte ich z.B. auch erst nach r zweimal ableiten und dann erst für r = [mm] \wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}} [/mm] einsetzten?
mfg patsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Do 26.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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