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partielle Ableitungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:04 So 06.01.2008
Autor: Nico00

Aufgabe
Bestimme für die gegebenen Funktionen jeweils die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung.

a) [mm] f(x,y)=ln\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} [/mm]

[mm] b)f(x,y,z)=\bruch{3x^{2}+yz}{z^{3}} [/mm]

c) [mm] f(x,y)=3x^{2}-4y^{2}+5xy+4y [/mm]

d) [mm] f(x,y)=(xy)^{3}+xy^{2} [/mm]

Hallo,

wäre es möglich, dass sich jemand meine Lösungen anschaut.

Ich bin mir leider nicht ganz sicher, ob ich das richtig gemacht habe.

zu a)
[mm] f'(x,0)=\bruch{-1}{x} [/mm]

[mm] f''(x,0)=\bruch{1}{x^{2}} [/mm]

[mm] f'(0,y)=\bruch{-1}{y} [/mm]

[mm] f''(0,y)=\bruch{1}{y^{2}} [/mm]

zu b)
da weiß ich nicht so recht, da ich doch dann im Nenner eine 0 habe

zu c)
f'(x,0)=6x
f''(x,0)=6

f'(0,y)=-8y
f''(0,y)=-8

zu d)
da sind doch die Ableitungen alle gleich Null, oder??

Könnte mir da bitte jemand helfen.

Gruß, Nico

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
partielle Ableitungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:27 So 06.01.2008
Autor: Martinius

Hallo Nico,

ich leite dir mal die a) partiell einmal ab:

$f(x,y) = ln [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}}$ [/mm]

[mm] $\bruch{\partial f}{\partial x}= \wurzel{x^2+y^2}*\left(\bruch{-1}{2} \right)*\left(\wurzel{x^2+y^2}\right)^{-3}*2x [/mm] = [mm] \bruch{-x}{x^2+y^2}$ [/mm]

[mm] $\bruch{\partial f}{\partial y}= \wurzel{x^2+y^2}*\left(\bruch{-1}{2} \right)*\left(\wurzel{x^2+y^2}\right)^{-3}*2y [/mm] = [mm] \bruch{-y}{x^2+y^2}$ [/mm]

Zum zweiten mal:

[mm] $\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2} [/mm] = [mm] \bruch{-(x^2+y^2)+x*2x}{(x^2+y^2)^2} =\bruch{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} [/mm] $

[mm] $\bruch{\partial^2 f}{\partial y^2} [/mm] = [mm] \bruch{-(x^2+y^2)+y*2y}{(x^2+y^2)^2} =\bruch{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} [/mm] $

[mm] $\bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y} [/mm] = [mm] \bruch{0+x*2y}{(x^2+y^2)^2} =\bruch{2xy}{(x^2+y^2)^2} [/mm] $

So ich mich nicht verrechnet habe.

LG, Martinius

Bezug
        
Bezug
partielle Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 So 06.01.2008
Autor: max3000

Hi.

Was machst du da eigentlich?
Warum setzt du bei der Ableitung nach x denn die y-Variable 0?
Die bleibt einfach konstant da stehen.

Beispiel a)

[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=(x^2+y^2)^{1/2}*(-\bruch{1}{2})*(x^2+y^2)^{-3/2}*2x [/mm]
[mm] =-\bruch{x}{x^2+y^2} [/mm]

Aus Symmetriegründen ist dann

[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=-\bruch{y}{x^2+y^2} [/mm]

Die Ableitung war etwas schwierig. Erst leitest du ln ab, die innere Ableitung ist dann der Bruch und davon die innere Ableitung das unter der Wurzel. Also 2 mal Kettenregel.

Habt ihr das etwa so gelernt, dass man die jeweils anderen Variablen 0 setzt?
Nochmal zur schreibweise, weiß ja nicht wie ihr das gelernt habt:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=\partial_xf(x,y)=\partial_1f(x,y) [/mm]

Gruß
Max

Bezug
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