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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Andi |
Hallo liebe Matheräumler,
ich bräuchte ein wenig Hilfe zu folgender Aufgabe:
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f: \IR^2 \to\IR [/mm]; [mm](x;y) \mapsto \begin{cases} \bruch{x^2*y}{2*x^4+3*y^2}, & \mbox{für } (x;y) \not=(0;0) \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm]
a) Existieren die partiellen Ableitungen im Punkt $(0;0)$?
b) Zeigen Sie, dass $f$ im Punkt $(0;0)$ unstetig ist.
c) Ist $f$ in $(0;0)$ total differenzierbar? |
Ok, dann werd ich mal versuchen meinen kläglichen Ansatz zu verfassen:
Für die Teilaufgabe a) habe ich zu erst die partiellen Ableitungen gebildet.
[mm] D_x f(x;y)= \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f((0;0)+h*(1;0))-f((0;0)}{h}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{\bruch{h^2*0}{2*h^4+3*0^2}}{h}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{0}{h}=0[/mm]
[mm] D_y f(x;y)=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{0}{h}=0[/mm]
Das müssten die partiellen Ableitungen sein. Und da sie ja schon dort stehen werden sie wohl auch existieren.
Beim Rest bräuchte ich allerdings ein wenig Hilfe. Ich habe nämlich leider in der Literatur (u.a. Forster und Heuser) keine schönen (und konkreten) Beispiele zur Stetigkeit gefunden.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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Hallo Andi,
> Gegeben sei die Funktion [mm]f: \IR^2 \to\IR [/mm]; [mm](x;y) \mapsto \begin{cases} \bruch{x^2*y}{2*x^4+3*y^2}, & \mbox{für } (x;y) \not=(0;0) \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> a) Existieren die partiellen Ableitungen im Punkt (0;0)?
>
> b) Zeigen Sie, dass f im Punkt (0;0) unstetig ist.
>
> c) Ist f in (0;0) total differenzierbar?
>
> Ok, dann werd ich mal versuchen meinen kläglichen Ansatz zu
> verfassen:
>
> Für die Teilaufgabe a) habe ich zu erst die partiellen
> Ableitungen gebildet.
> [mm]D_x f(x;y)= \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f((0;0)+h*(1;0))-f((0;0)}{h}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{\bruch{h^2*0}{2*h^4+3*0^2}}{h}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{0}{h}=0[/mm]
>
> [mm]D_y f(x;y)=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{0}{h}=0[/mm]
>
> Das müssten die partiellen Ableitungen sein. Und da sie ja
> schon dort stehen werden sie wohl auch existieren.
>
> Beim Rest bräuchte ich allerdings ein wenig Hilfe. Ich habe
> nämlich leider in der Literatur (u.a. Forster und Heuser)
> keine schönen (und konkreten) Beispiele zur Stetigkeit
> gefunden.
Nun, um zu zeigen, dass f bei (0,0) nicht stetig ist, betrachte die Nullfolge [mm] (\bruch{1}{n},\bruch{1}{n^2}). [/mm] Was ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n^2})? [/mm] (... [mm] \not= [/mm] f(0,0)).
Was folgt daraus für die Differenzierbarkeit? Dürfte klar sein!
gruss,
logarithmus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Andi |
Hallo logarithmus,
vielen Dank für deine Hilfe.
> Nun, um zu zeigen, dass f bei (0,0) nicht stetig ist,
> betrachte die Nullfolge [mm](\bruch{1}{n},\bruch{1}{n^2}).[/mm] Was
> ist
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n^2})?[/mm]
> (... [mm]\not=[/mm] f(0,0)).
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n^2})= \infty[/mm]
Also ist sie nicht stetig.
> Was folgt daraus für die Differenzierbarkeit?
Die Funktion ist im Punkt (0;0) nicht total differenzierbar.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Andi |
Lieber Stefan,
> Hier hast du dich wohl verrechnet. Es gilt:
> [mm]\lim\limits_{n \to \infty} f \left( \frac{1}{n}, \frac{1}{n^2} \right) = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^4}}{2\frac{1}{n^4} + 3 \frac{1}{n^4}} = \frac{1}{5} \ne 0[/mm].
Ok ... sorry .... da hast du recht.
Ich war so faul und wollte es im Kopf machen, anstatt es aufs Papier zu schreiben und da ist mir der Fehler unterlaufen. Danke für die Verbesserung.
Liebe Grüße,
Andi
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