partielle Abl. implizite Fktn. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Di 16.06.2009 | | Autor: | PiPchen |
| Aufgabe | z ist im Punkt (0,0,2) implizit als differenzierbare Funktion der Variablen x und y definiert für die Gleichung:
x - 2y - 3z + z² = -2
Berechnen Sie in diesem Punkt die partiellen Ableitungen Dx von z, Dy von z, Dxx von z, Dxy von z und Dyy von z !
|
hey,
mir ist nicht ganz klar, wie man das genau machen soll. man kann ja eine funktion G(x,y,f(x,y)) definieren und danach ableiten aber da steht ja man soll x bzw. y in Bezug auf z, also f(x,y), ableiten.
also mit Hilfe des impliziten Funktionensatzes konnte ich eine implizite Funktion y(x) für nur zwei Variablen x und y ableiten mit:
y'(x)= - (D1(G(x,y(x))) / (D2(G(x,y(x)))
wie das jetzt bei drei vorhandenen variablen aussieht und wie man nach den einzelnen Variablen (z.b. Dx von z) dann ableitet versteh ich grad nicht so genau.
bin ziemlich verwirrt ^^ weiß jemand rat?
danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Di 16.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Die Funktion z = z(x,y) ist implizit gegeben durch
$x - 2y - 3z(x,y) + [mm] z(x,y)^2 [/mm] = -2 $
Differenziert man diese Gleichung nach x, so erhält man:
[mm] $1-3z_x(x,y) +2z(x,y)z_x(x,y) [/mm] = 0$
Oder
[mm] $z_x(x,y) [/mm] (2z(x,y)-3) = -1$
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Di 16.06.2009 | | Autor: | PiPchen |
danke für das beispiel. mein problem war das z(x,y) innerhalb der gleichung aber dein vorgehen mit der kettenregel scheint plausibel.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Mi 29.07.2009 | | Autor: | PiPchen |
hey,
ich hab mir die aufgabe im zuge der klausurvorbereitung nochmal angesehen und frage mich, ob man nicht noch irgendwas mit diesem punkt (0,0,2) in der ableitung anfangen soll, da ja steht man soll die ableitungen in diesem punkt berechnen. kann man diese werte irgendwie einsetzen noch, um eine zahl rauszukriegen aus der ableitung ? erscheint mir irgendwie nicht so klar, wenn ich sowas wie [mm] 3*z_{x}(x,y) [/mm] da stehen hab, was da raus kommen soll oder geht das gar nicht und wir sind auf jeden fall mit der aufgabe schon fertig ?
danke für antworten
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Mi 29.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Laut Aufgabenstellung ist
$z(0,0) = 2$
Früher hatte ich Dir schon mitgeteilt:
$ [mm] z_x(x,y) [/mm] (2z(x,y)-3) = -1 $
Also ist
$ [mm] z_x(0,0) [/mm] = -1 $
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Mi 29.07.2009 | | Autor: | PiPchen |
ah super, dank dir. dann ist es klar.
wenn bei sowas aber kein punkt gegeben ist, sondern nur ne gleichung der form
[mm] x^{n}+y^{m}+z^{o}+k*z [/mm] = 0 geht das nicht, dass ich da konkrete werte rausbekomme für die partiellen ableitungen bezüglich z oder ? sorry, wenns zu offensichtlich ist und ich es nicht checke ^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Mi 29.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Schau Dir nochmal an, was im Satz über implizit def. Funktionen vorausgesetzt wird (da kommt ein gegebener Punkt vor !)
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Mi 29.07.2009 | | Autor: | PiPchen |
hmm ja, da steht in der umgebung von so einem gegeben punkt kann man y nur als implizite funktion definieren, allerdings weiß ich nicht, was für ein punkt das sein soll bei dem beispiel in meiner letzten frage.
damit ich z(x,y) bestimmen kann, brauch ich ja wie in der hier besprochenen aufgabe z.b. die angabe, dass z in x=y=0 den wert 2 hat. wenn so eine angabe nicht gegeben ist und nur die gleichung der art
$ [mm] x^{n}+y^{m}+z^{o}+k\cdot{}z [/mm] $ = 0
hab ich wie gesagt keine idee, was ich wenn ich partiell ableite für z(x,y) einsetzen kann. die definition half mir leider nicht weiter. ich weiß jetzt nur, dass diese implizite funktion nur in der umgebung von so einem punkt gilt, aber welcher das ist ... ? muss ich da vllt rumprobieren bis die gleichung erfüllt ist ???
|
|
|
| |
|
Hallo PiPchen,
> hmm ja, da steht in der umgebung von so einem gegeben punkt
> kann man y nur als implizite funktion definieren,
> allerdings weiß ich nicht, was für ein punkt das sein
> soll bei dem beispiel in meiner letzten frage.
> damit ich z(x,y) bestimmen kann, brauch ich ja wie in der
> hier besprochenen aufgabe z.b. die angabe, dass z in x=y=0
> den wert 2 hat. wenn so eine angabe nicht gegeben ist und
> nur die gleichung der art
> [mm]x^{n}+y^{m}+z^{o}+k\cdot{}z[/mm] = 0
> hab ich wie gesagt keine idee, was ich wenn ich partiell
> ableite für z(x,y) einsetzen kann. die definition half mir
> leider nicht weiter. ich weiß jetzt nur, dass diese
> implizite funktion nur in der umgebung von so einem punkt
> gilt, aber welcher das ist ... ? muss ich da vllt
> rumprobieren bis die gleichung erfüllt ist ???
Nein.
Nach dem Satz über implizite Funktionen, muß der Punkt [mm]\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)[/mm]
den folgenden 2 Bedingungen genügen:
[mm]F\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)=0[/mm]
wobei
[mm]F\left(x,y,z\right)=x^{n}+y^{m}+z^{o}+k\cdot{}z[/mm]
und die partielle Ableitung nach z in diesem Punkt darf nicht verschwinden:
[mm]\left( \ \bruch{\partial F}{\partial z} \ \right)\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) \not= 0[/mm]
Daraus lassen sich die Punkte angegeben,
für welche F lokal nach z aufösbar ist.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Mo 10.08.2009 | | Autor: | PiPchen |
ich hab noch eine letzte frage zur ursprünglichen aufgabenstellung. wenn ich da [mm] D_{1}z [/mm] und [mm] D_{2}z [/mm] bestimmt habe, soll ich noch [mm] D_{11}z,D_{12}z, [/mm] und [mm] D_{22}z [/mm] bestimmen. Da [mm] D_{1}z [/mm] ja -1 und [mm] D_{2}z [/mm] ja 2 ist, müssten diese Ableitungen doch allesamt 0 sein oder irre ich mich da ? Danke für die Auskunft =)
|
|
|
| |
|
Hallo PiPchen,
> ich hab noch eine letzte frage zur ursprünglichen
> aufgabenstellung. wenn ich da [mm]D_{1}z[/mm] und [mm]D_{2}z[/mm] bestimmt
> habe, soll ich noch [mm]D_{11}z,D_{12}z,[/mm] und [mm]D_{22}z[/mm] bestimmen.
> Da [mm]D_{1}z[/mm] ja -1 und [mm]D_{2}z[/mm] ja 2 ist, müssten diese
> Ableitungen doch allesamt 0 sein oder irre ich mich da ?
Wir haben [mm]D_{1}z, \ D_{2}z[/mm] formal bestimmt,
also in Abhängigkeit von x und y.
Differenziere [mm]D_{1}z, \ D_{2}z[/mm] wiederum formal
und setze dann anschliessend die x und y-Werte ein.
> Danke für die Auskunft =)
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Mo 10.08.2009 | | Autor: | PiPchen |
ah ok, da kommt dann die produktregel zum einsatz nehm ich an und dann wird bei mir die zweifache ableitung nach x -1.
|
|
|
|
