partiell / total diffbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Do 30.08.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | [mm] f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2\begin{cases} x_1+x_2, > 0 \\ x_1+x_2, \le 0 \end{cases}
[/mm]
a) partiell diffbar in (0,0)?
[mm] f(x)=\begin{cases} ln|x|, \not=0 \\ 0, x=0 \end{cases}
[/mm]
b) total differenzierbar |
Aufgabe a) irritiert mich sehr.
Um partielle differenzierbarkeit in (0,0) zu prüfen wählt man den Ansatz
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0+h_{e_1})-f(0)}{h}=\bruch{h^2}{h}=h [/mm] bzw
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0+h_{e_2})-f(0)}{h}=\bruch{h^2}{h}=h [/mm]
Also ist die Funktion in (0,0) nicht differenzierbar.
Korrekt?
Mich irritiert die Angabe mit [mm] \le [/mm] und >. Muss das bei der Untersuchung auf partielle Differenzierbarkeit speziell beachtet werden?
Aufgabe b)
Hier geht es um totale Differenzierbarkeit
Totale Differenzierbarkeit zeige ich, indem ich alle Ableitungen der vorhandenen Variablen bilde. Allerdings erinnere ich mich nicht mehr recht, wie ich totale Differenzierbarkeit in (0,0,0) zeigen muss.
Für [mm] f(x_1,x_2,x_3)=ln|x| [/mm] kann man schreiben [mm] ln\wurzel{x_1^2+x_2^2+x_3^2}
[/mm]
Um totale Differenzierbarkeit im Nullpunkt nachzuweisen bildet man die Ableitungen.
Ich tue mich etwas schwer hier abzuleiten. Allgemein ist die Ableitung von ln|x| [mm] ist\bruch{1}{x} [/mm] Demnach müsste ich für [mm] x_1^2 [/mm] abgeleitet [mm] \bruch{2x}{\wurzel{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}
[/mm]
Ist das richtig?
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Fr 31.08.2012 | | Autor: | meili |
Hallo heinze,
> [mm]f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2\begin{cases} x_1+x_2, > 0 \\ x_1+x_2, \le 0 \end{cases}[/mm]
>
> a) partiell diffbar in (0,0)?
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} ln|x|, \not=0 \\ 0, x=0 \end{cases}[/mm]
> b)
> total differenzierbar
> Aufgabe a) irritiert mich sehr.
Mich auch.
Ist die Funktion nicht eher so:
[mm]f(x_1,x_2)=\begin{cases} \cdots \mbox{falls }x_1+x_2 > 0 \\ \cdots \mbox{falls } x_1+x_2 \le 0 \end{cases}[/mm] ?
Was bei den [mm] $\cdots$ [/mm] steht weis ich auch nicht, vielleicht [mm] $x_1^2+x_2^2$,
[/mm]
aber in dem einen von den beiden Fällen sollte es etwas anderes sein.
>
> Um partielle differenzierbarkeit in (0,0) zu prüfen wählt
> man den Ansatz
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0+h_{e_1})-f(0)}{h}=\bruch{h^2}{h}=h[/mm]
> bzw
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0+h_{e_2})-f(0)}{h}=\bruch{h^2}{h}=h[/mm]
Sollte das nicht
[mm]\limes_{h_{e_1}\rightarrow 0}\bruch{f(0+h_{e_1},0)-f(0,0)}{h_{e_1}}=\limes_{h_{e_1}\rightarrow 0}\bruch{h_{e_1}^2}{h_{e_1}}=\limes_{h_{e_1}\rightarrow 0}h_{e_1}=0[/mm]
bzw
[mm]\limes_{h_{e_2}\rightarrow 0}\bruch{f(0,0+h_{e_2})-f(0,0)}{h_{e_2}}=\limes_{h_{e_2}\rightarrow 0}\bruch{h_{e_2}^2}{h_{e_2}}=\limes_{h_{e_2}\rightarrow 0}h_{e_2}=0[/mm]
heißen?
>
> Also ist die Funktion in (0,0) nicht differenzierbar.
Den Schluss verstehe ich jetzt nicht.
Der Grenzwert existiert doch beides mal.
>
> Korrekt?
>
> Mich irritiert die Angabe mit [mm]\le[/mm] und >. Muss das bei der
> Untersuchung auf partielle Differenzierbarkeit speziell
> beachtet werden?
>
> Aufgabe b)
>
> Hier geht es um totale Differenzierbarkeit
>
> Totale Differenzierbarkeit zeige ich, indem ich alle
> Ableitungen der vorhandenen Variablen bilde. Allerdings
> erinnere ich mich nicht mehr recht, wie ich totale
> Differenzierbarkeit in (0,0,0) zeigen muss.
Siehe ![[]](/images/popup.gif) totale Differenzierbarkeit.
>
> Für [mm]f(x_1,x_2,x_3)=ln|x|[/mm] kann man schreiben
> [mm]ln\wurzel{x_1^2+x_2^2+x_3^2}[/mm]
>
> Um totale Differenzierbarkeit im Nullpunkt nachzuweisen
> bildet man die Ableitungen.
>
> Ich tue mich etwas schwer hier abzuleiten. Allgemein ist
> die Ableitung von ln|x| [mm]ist\bruch{1}{x}[/mm] Demnach müsste
> ich für [mm]x_1^2[/mm] abgeleitet
> [mm]\bruch{2x}{\wurzel{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}[/mm]
>
> Ist das richtig?
Nein, die Wurzel musst Du bei der Ableitung auch berücksichtigen
(noch eine Zusammensetzung mehr).
Aber meiner Meinung nach ist die Funktion in (0,0,0) nicht stetig;
also kann man das mit der totalen Differenzierbarkeit total vergessen.
>
>
> LG
> heinze
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:53 Mo 03.09.2012 | | Autor: | heinze |
a) [mm] f(x_1,x_2)=\begin{cases} \ \mbox{}x_1+x_2 > 0 \\ \mbox{} x_1+x_2 \le 0 \end{cases}
[/mm]
So steht die Aufgaben geschrieben.
Gut, ich ahbe nun gesehen,das tatsächlich der Grenzwert existiert. Aber ich bin mir noch immer Unschlüssig was diese Unterscheidung mit >0 und [mm] \le [/mm] 0 hier zu sagen hat, ob ich das separat betrachten muss oder was damit hier zu tun ist.
b) Totale Differenzierbarkeit
1. Könnt ihr mir nochmal erklären, wie man die Ableitungen von dieser ln Funktion bildet?
Für totale Differenzierbarkeit müssen 2 Dinge gelten:
a) f ist stetig in x
b) alle Komponenten von f sind in x partiell differenzierbar
Die Funktion ist stetig in [mm] \IR^3\{0,0,0} [/mm] aber nicht in (0,0,0) denn es muss gelten [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{1_n},x_{2_n}x_{3_n})=f(0,0,0)=0
[/mm]
[mm] (x_{1_n},x_{2_n}x_{3_n})=(0,0,\bruch{1}{n})
[/mm]
[mm] f(0,0,\bruch{1}{n})=ln(\bruch{1}{n} )^{\bruch{1}{2}} n\mapsto \infty =\infty \not=0 [/mm] = f(0,0,0)
Da keine Stetigkeit vorliegt ist die Funktion nicht total diffabar.
Reichts dieses zu zeigen?
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Mo 03.09.2012 | | Autor: | meili |
Hallo heinze,
> a) [mm]f(x_1,x_2)=\begin{cases} \ \mbox{}x_1+x_2 > 0 \\ \mbox{} x_1+x_2 \le 0 \end{cases}[/mm]
>
> So steht die Aufgaben geschrieben.
> Gut, ich ahbe nun gesehen,das tatsächlich der Grenzwert
> existiert. Aber ich bin mir noch immer Unschlüssig was
> diese Unterscheidung mit >0 und [mm]\le[/mm] 0 hier zu sagen hat, ob
> ich das separat betrachten muss oder was damit hier zu tun
> ist.
In dem Fall, wenn die Funktion f genauso definiert ist,
wie Du hier geschrieben hast, haben >0 und [mm]\le[/mm] 0 hier keine
Bedeutung und dienen nur der Verwirrung.
Es ist allerdings eine andere Funktion als in Deinem ersten Post,
da kamen noch Quadrate vor.
>
>
> b) Totale Differenzierbarkeit
>
> 1. Könnt ihr mir nochmal erklären, wie man die
> Ableitungen von dieser ln Funktion bildet?
Die Funktion $f: [mm] \IR^3 \setminus \{0,0,0\} \to \IR, f(x_1, x_2, x_3) [/mm] = [mm] ln(\wurzel{x_1^2+x_2^2+x_3^2})$ [/mm] partiell differenzieren:
$f= k [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] h$ mit
$h: [mm] \IR^3 \setminus \{0,0,0\} \to \IR, h(x_1, x_2, x_3) [/mm] = [mm] x_1^2+x_2^2+x_3^2$,
[/mm]
$g: [mm] \IR \to \IR, [/mm] g(x) = [mm] \wurzel{x}$,
[/mm]
$k: [mm] \IR \to \IR, [/mm] k(x) = ln(x)$.
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial x_i}(x_1, x_2, x_3) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}*\bruch{1}{2*\wurzel{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}*2*x_i$ [/mm] = ...
lässt sich noch zusammenfassen.
>
> Für totale Differenzierbarkeit müssen 2 Dinge gelten:
> a) f ist stetig in x
> b) alle Komponenten von f sind in x partiell
> differenzierbar
es fehlt noch
c) alle partiellen Ableitungen von f sind stetig.
Aus diesen 3 Bedingungen folgt die totale Differenzierbarkeit.
Zu den komplizierten Zusammenhängen der
verschiedenen Differenzierbarkeitsbegriffen siehe
Reellwertige Funktionen mehrerer Variablen und Beispiele.
>
> Die Funktion ist stetig in [mm]\IR^3 \setminus \{0,0,0\}[/mm] aber nicht in
> (0,0,0) denn es muss gelten
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{1_n},x_{2_n},x_{3_n})=f(0,0,0)=0[/mm]
[mm]\limes_{(x_1,x_2,x_3) \rightarrow(0,0,0)}f(x_{1},x_{2},x_{3})=f(0,0,0)=0[/mm]
>
> [mm](x_{1_n},x_{2_n},x_{3_n})=(0,0,\bruch{1}{n})[/mm]
>
> [mm]f(0,0,\bruch{1}{n})=ln(\bruch{1}{n} )^{\bruch{1}{2}} n\mapsto \infty =\infty \not=0[/mm]
> = f(0,0,0)
Diese Darstellung ist nicht ganz ok,
aber[mm]\limes_{(x_1,x_2,x_3) \rightarrow(0,0,0)}f(x_{1},x_{2},x_{3}) = -\infty[/mm].
>
> Da keine Stetigkeit vorliegt ist die Funktion nicht total
> diffabar.
> Reichts dieses zu zeigen?
Ja.
>
>
> LG
> heinze
>
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 Mo 03.09.2012 | | Autor: | heinze |
> Hallo heinze,
> > a) [mm]f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2\begin{cases} \ \mbox{}x_1+x_2 > 0 \\ \mbox{} x_1+x_2 \le 0 \end{cases}[/mm]
So stimmt es nun. Das schreiben hier ist für mich noch etwas unübersichtlich..
LG
heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Do 06.09.2012 | | Autor: | heinze |
Meine Frage dazu nochmal: hat diese Einschränkung irgend etwas zu bedeuten? Oder kann ich das > und [mm] \le [/mm] ignorieren bei meiner Betrachtung? Wenn es beachtet werden muss, dann fehlt mir die Idee was zu machen/zeigen ist.
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Do 06.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst dich nur überzeugen davon dass die 2 Bedingungen alle [mm] (x_1,x_2) [/mm] aus [mm] \IR^2 [/mm] umfassen.
Gruss leduart
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