partiell differenzieren < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 So 10.06.2007 | | Autor: | myo |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion
f: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] f(x,y) := [mm] {\frac {xy \left( {x}^{2}-{y}^{2} \right) }{{x}^{2}+{y}^{2}}} [/mm] für (x,y)!=(0,0), f(0,0)=0 überall zweimal partiell differenzierbar ist, aber f_xy(0,0)!=f_yx(0,0) gilt! Wieso stellt dies keinen Widerspruch zum Satz von Schwarz dar? |
Ich versteh gerade garnicht so recht was oder wie ich hier was machen soll..
also die partiellen Ableitungen sind ja:
[mm] f_x {\frac {y \left( {x}^{4}-{y}^{4}+4\,{x}^{2}{y}^{2} \right) }{ \left( {
x}^{2}+{y}^{2} \right) ^{2}}}
[/mm]
[mm] f_y {\frac {x \left( {x}^{4}-{y}^{4}-4\,{x}^{2}{y}^{2} \right) }{ \left( {
x}^{2}+{y}^{2} \right) ^{2}}}
[/mm]
f_xx [mm] -4\,{\frac {x{y}^{3} \left( {x}^{2}-3\,{y}^{2} \right) }{ \left( {x}^{
2}+{y}^{2} \right) ^{3}}}
[/mm]
f_xy [mm] {\frac {{x}^{6}+9\,{x}^{4}{y}^{2}-9\,{x}^{2}{y}^{4}-{y}^{6}}{ \left( {
x}^{2}+{y}^{2} \right) ^{3}}}
[/mm]
f_yx [mm] {\frac {{x}^{6}+9\,{x}^{4}{y}^{2}-9\,{x}^{2}{y}^{4}-{y}^{6}}{ \left( {
x}^{2}+{y}^{2} \right) ^{3}}}
[/mm]
f_yy [mm] -4\,{\frac {{x}^{3}y \left( 3\,{x}^{2}-{y}^{2} \right) }{ \left( {x}^{
2}+{y}^{2} \right) ^{3}}}
[/mm]
Aber wie nun weiter? Wie zeige ich genau das etwas überall zweimal partiell diffbar ist? Mit gegen einen Grenzwert laufen lassen?
Und die andere Frage ist wieso ist f_xy(0,0)!=f_xy(0,0)? Wenn ich da die Werte einsetze kommt doch dasselbe raus oder wie ist das genau zu verstehen?
f_xy und f_yx sind ja dasselbe, das besagt ja auch der Satz von Schwarz, dass nämlich die gemischten partiellen Ableitungen gleich sind (f_xixj=f_xjxi).
Würde mich freuen, wenn mir dabei mal jemand auf die Sprünge helfen könnte.. Ich glaub ich steh hier gerade voll auf dem Schlauch.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Mo 11.06.2007 | | Autor: | martzo |
Hi Myo,
du hast die partiellen Ableitungen sehr schön ausgerechnet, aber eben nur für den Bereich außerhalb von (0,0), und da ist natürlich alles wunderbar stetig differenzierbar und da gilt auch der Satz von Schwartz.
Aber überleg doch mal, wie die partiellen Ableitungen im Punkt (0,0) aussehen. Dazu musst du ganz elementar den Grenzwert des Differentialquotienten im Punkt (0,0) bestimmen. Wenn Du so die zweiten partiellen Ableitungen ausgerechnet hast, wirst Du wahrscheinlich sehen können (ich weiß es nicht, ich habe es nicht ausprobiert), dass sie nicht stetig sind, und deshalb der Satz von Schwartz nicht gilt (der gilt nämlich nur für STETIG differenzierbare Funktionen...)
Ist nur eine Idee, jetzt musst Du selber rechnen. Viel Spaß!
Martzo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Mo 11.06.2007 | | Autor: | martzo |
Sorry, natürlich nicht den Grenzwert des Differentialquotienten, sondern den des DIFFERENZENQUOTIENTEN.
Martzo
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