part. Ableitung Skalarprodukt < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:28 Mi 24.11.2010 | | Autor: | ilfairy |
| Aufgabe | Gesucht sind die partiellen Ableitungen der Funktion:
[mm]f:\IR^2\setminus\left\{0 \right\} \rightarrow\IR[/mm]
[mm]f(x) = \frac{\left\langle Ax,x \right\rangle}{\left\langle x,x \right\rangle}[/mm] |
Hallo meine Lieben!
Nun.. meine Idee hierzu: Zu Nenner und Zähler mithilfe der Limes-Definition die partiellen Ableitungen in x- und y-Richtung bestimmen. Danach in die Quotientenregel einsetzen und vereinfachen.
Kann man das so machen? Oder gibt es einen Trick beim Skalarprodukt, mit dem es einfacher geht?
Liebe Grüße!
ilfairy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Mi 24.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gesucht sind die partiellen Ableitungen der Funktion:
> [mm]f:\IR^2\setminus\left\{0 \right\} \rightarrow\IR[/mm]
> [mm]f(x) = \frac{\left\langle Ax,x \right\rangle}{\left\langle x,x \right\rangle}[/mm]
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> Hallo meine Lieben!
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> Nun.. meine Idee hierzu: Zu Nenner und Zähler mithilfe der
> Limes-Definition die partiellen Ableitungen in x- und
> y-Richtung bestimmen. Danach in die Quotientenregel
> einsetzen und vereinfachen.
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> Kann man das so machen? Oder gibt es einen Trick beim
> Skalarprodukt, mit dem es einfacher geht?
>
Für eine $ 2 [mm] \times [/mm] 2$ -Matrix A gehts doch einfacher ! Sei [mm] $A=\pmat{ a & b \\ c & d }$
[/mm]
Für x=(u,v) [mm] \IR^2 [/mm] \ { (0,0) } ist dann
$f(x)=f(u,v)= [mm] \bruch{a*u^2+(b+c)*uv+d*v^2}{u^2+v^2}$
[/mm]
FRED
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> Liebe Grüße!
>
> ilfairy
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Mi 24.11.2010 | | Autor: | ilfairy |
Hallo Fred!
Erstmal danke für deine schnelle Antwort!
Im nächsten Aufgabenteil soll ich auch noch die zweiten und dritten Ableitungen bilden - spätestens dann arten die Terme ziemlich aus.
Zum Beispiel die erste Ableitung nach u:
[mm]f_{u}(u,v) = \frac{(2*a*u+(b+c)*v)*(u^2+v^2)-2*u*(a*u^2+(b+c)*u*v+d*v^2)}{(u^2+v^2)^2}[/mm]
Wenn ich diese noch einmal nach u ableiten würde.. puuhhh - das würde dauern..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 Di 30.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo ilfairy!
Das sieht soweit richtig aus. Fasse nun zunächst im Zähler zusammenn, da vereinfacht sich doch einiges.
Gruß
Loddar
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