part. Ableitung, Frechet-Abl. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe die Funktion
[mm] f(x,y)=\begin{cases} (x^{2}+y^{2}) sin \bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} , & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0) \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
vor mir liegen, und möchten zeigen, dass
1) f auf ganz [mm] \IR^{2} [/mm] partielle Ableitungen [mm] f_{x} [/mm] und [mm] f_{y} [/mm] besitzt,
2) f in (0,0) (Frechet-) diffbar. ist und
3) die partiellen Ableitungen [mm] f_{x} [/mm] und [mm] f_{y} [/mm] in (0,0) nicht stetig sind.
Meine Ansätze:
1) Wenn ich die partiellen Ableitungen bilde, erhalte ich:
[mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] f(x,y) = x (2 sin [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} [/mm] cos [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}) [/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial y} [/mm] f(x,y) = y (2 sin [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} [/mm] cos [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}) [/mm]
Wie kann ich das jetzt weiter zusammenfassen, damit ich sehe, dass diese Ableitung überall existieren ?
2. Da hab ich leider nur die Definition:
[mm] \limes_{||h||\rightarrow 0} \bruch{||f(x_{0} + h) - f(x_{0}) + Ah||}{||h||}
[/mm]
Für meine Funktion würde folgen:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_{0} + h) + Ah}{h}
[/mm]
Nun weiß ich nicht recht, was ich für [mm] f(x_{0} [/mm] + h) einsetzen muss, um dann auf meine lineare Abbildung A zu kommen.
3.
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] (0,0) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] = [mm] \bruch{f(0,h) - f(0,0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h^{2} sin \bruch{1}{h}}{h} [/mm] = 0
Also weiß ich, dass meine partiellen Ableitungen dort den Wert 0 annehmen, dann muss ich überprüfen, ob der Grenzwert der Funktionen, die ich unter 1) finden muss, gegen 0 strebt an der Stelle (0,0) ?
Danke & Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 16.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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