parallele Kurventangenten < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 Mo 17.05.2010 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe 1 | Gegeben sind die Funktion f(x)=2+cos (x) und g(x)=(sin (x))²
(mit x [mm] \in [0;\pi])
[/mm]
3a) Zeigen Sie, dass die Tangente im Punkt P [mm] (\bruch{2}{3}\pi; f(\bruch{2}{3}\pi)) [/mm] an den GRaphen der Funktion f und die Tangente im Punkt Q [mm] (\bruch{2}{3}\pi; f(\bruch{2}{3}\pi)) [/mm] an den Graph der Funktion g zueinander parallel sind.
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| Aufgabe 2 | | 3b) Gibt es weitere Punkte der Graphen der Funktionen f und g mit zueinander parallelen Kurventangenten? Ermitteln Sie die Koordinaten dieser Punkte! |
Hallo Leute,
die Aufgabe 3a) stellt kein Problem dar. Ich habe einfach die Tangentenanstiege miteinander verglichen. Aber bei der Aufgabe 3b) tappe ich im Dunkeln.
Ich dachte mir, ich müsste andersherum denken und die Schritte von 3a) umdrehen - aber ahhhhaaaa. Ich packe es nicht! Das nervt mich! *so jetzt ist es raus*
Hat jemand einen Ansatz??
Silfide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Mo 17.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, du hast ja sicher die Ableitungen ausgerechnet.
f'(x)=-sin(x)
g'(x)=2sin(x)cos(x)
Wenn die Tangenten parallel sein sollen, müssen die 1. Ableitungen f' und g' gleich sein.
Du musst also lösen: -sin(x)=2sin(x)cos(x).
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Di 18.05.2010 | | Autor: | silfide |
Hallo Teufel,
ich danke dir. Darauf bin ich die Nacht auch gekommen...*Schlaf hilft beim Denken*
Nun habe ich das Problem, dass ich scheinbar nicht auf die richtigen Ergebnisse komme. Ich errechne nur die Punkte, welche mir von 3a) bereits bekannt sind.
-sin x = 2*sin x *cos x /:sin x
-1=2*cos x /:2
[mm] -\bruch{1}{2}=cos [/mm] x
[mm] x=\bruch{2\pi}{3}
[/mm]
[mm] f(\bruch{2\pi}{3})=2+cos (\bruch{2\pi}{3})
[/mm]
[mm] f(\bruch{2\pi}{3})=\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] g(\bruch{2\pi}{3})=(sin (\bruch{2\pi}{3}))^2
[/mm]
[mm] g(\bruch{2\pi}{3})=\bruch{3}{4}
[/mm]
Laut Angabe meiner Lehrerin müsste ich auf 6 Punkte kommen. nur wie?? Ne Idee??
Silfide
Nachtrag: Ich könnte natürlich nun noch weitere Punkte nennen für die cos x = -0,5 ist, wie z.B. [mm] \bruch{7}{3}\pi. [/mm] Aber: Ist das sinnvoll??
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Hallo silfide,
> Hallo Teufel,
>
> ich danke dir. Darauf bin ich die Nacht auch
> gekommen...*Schlaf hilft beim Denken*
> Nun habe ich das Problem, dass ich scheinbar nicht auf die
> richtigen Ergebnisse komme. Ich errechne nur die Punkte,
> welche mir von 3a) bereits bekannt sind.
>
> -sin x = 2*sin x *cos x /:sin x
Das darfst Du nur, wenn [mm]\sin\left(x\right) \not=0[/mm] ist.
Besser Du schreibst das zunächst so:
[mm]\\sin\left(x\right)*\left(2*\cos\left(x\right)+1\right)=0[/mm]
Nun gilt der Satz vom Nullprodukt:
Ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren Null ist.
Demnach gibt es 2 Fälle:
i) [mm]\sin\left(x\right)=0[/mm]
ii) [mm]2\cos\left(x\right)+1=0[/mm]
> -1=2*cos x /:2
> [mm]-\bruch{1}{2}=cos[/mm] x
> [mm]x=\bruch{2\pi}{3}[/mm]
Es gibt hier noch einen weiteren x-Wert, da der Cosinus symmetrisch ist.
>
> [mm]f(\bruch{2\pi}{3})=2+cos (\bruch{2\pi}{3})[/mm]
>
> [mm]f(\bruch{2\pi}{3})=\bruch{3}{2}[/mm]
> [mm]g(\bruch{2\pi}{3})=(sin (\bruch{2\pi}{3}))^2[/mm]
>
> [mm]g(\bruch{2\pi}{3})=\bruch{3}{4}[/mm]
Damit hast Du den Fall ii) abgeschlossen.
>
> Laut Angabe meiner Lehrerin müsste ich auf 6 Punkte
> kommen. nur wie?? Ne Idee??
Bleibt hier nur noch der Fall i) zu behandeln.
>
> Silfide
>
> Nachtrag: Ich könnte natürlich nun noch weitere Punkte
> nennen für die cos x = -0,5 ist, wie z.B. [mm]\bruch{7}{3}\pi.[/mm]
> Aber: Ist das sinnvoll??
Nein, da [mm]x \in \left[0,2\pi\right][/mm] sein muss.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Di 18.05.2010 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo MathePower, in der Aufgabe b) gibt es keine Angabe eines Intervalls, somit gibt es doch laut Periode der Cosinusfunktion beliebig viele Punkte mit parallelen Tangenten, also auch nicht die Einschränkung auf sechs Stellen, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 Di 18.05.2010 | | Autor: | MathePower |
Hallo Steffi21,
> Hallo MathePower, in der Aufgabe b) gibt es keine Angabe
> eines Intervalls, somit gibt es doch laut Periode der
> Cosinusfunktion beliebig viele Punkte mit parallelen
> Tangenten, also auch nicht die Einschränkung auf sechs
> Stellen, Steffi
Vor der Teilaufgabe 3a) steht ein Intervall,
somit bezieht sich dieses Intervall auf
die folgenden Teilaufgaben 3a) und 3b).
Gruss
MathePower
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