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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:11 Sa 31.01.2015 | | Autor: | Laura22 |
Hallo zusammen,
ich versuche mich gerade auf eine Geometrie-Klausur vorzubereiten und verstehe irgendwie einen Beweis nicht so recht. Ich schreib ihn einfach mal auf:
Definition: Sind zwei Geraden [mm] l_1 [/mm] und [mm] l_2 [/mm] asymptotisch und verschieden, so heißt g = [mm] S_{l_2} \circ S_{l_1} [/mm] eine parabolische Isometrie von H (=hyperbolische Ebene) , wobei [mm] S_{l_i} [/mm] Spiegelung an der Geraden [mm] l_i [/mm] ist.
Zu beweisen ist die Aussage:
Eine hyperbolische Bewegung g ist parabolisch genau dann, wenn die Funktion [mm] d_g [/mm] : H [mm] \to \IR [/mm] gegeben durch [mm] d_g(A) [/mm] = Ag(A) (Abstand A zum Bildpunkt g(A)) kein Minimum besitzt.
Beweis:
Hat die hyperbolische Isometrie h einen Fixpunkt, so ist das Minimum von [mm] d_h [/mm] gleich 0.
Hat ein fixpunktfreies h eine invariante Gerade, so ist das
Infimum von [mm] d_h [/mm] gleich der Translationslänge von h entlang der Achse.
Ist g = [mm] S_{l_2} \circ S_{l_1} [/mm] parabolisch, so wird [mm] l_1 [/mm] und damit jede zu [mm] l_1 [/mm] asymptotische Gerade von g auf eine zu [mm] l_1 [/mm] asymptotische Gerade geschickt.
Deswegen kann g keine Drehung sein, also keinen Fixpunkt haben. Andererseits, haben Punkte auf [mm] l_1 [/mm] beliebig kleinen Abstand zu [mm] l_2. [/mm] Deswegen ist das Infimum von [mm] d_g [/mm] gleich 0. [mm] \Box
[/mm]
Irgendwie verstehe ich nicht einmal die Struktur des Beweises. Es sind ja offensichtlich zwei Richtungen zu zeigen.
Die Hinrichtung beginnt bei "Ist g = [mm] S_{l_2} \circ S_{l_1} [/mm] parabolisch, so wird [mm] l_1 [/mm] und", soviel ist denke ich klar. Doch wo ist die Rückrichtung?
Und was wird bei der Hinrichtung überhaupt gezeigt? Am Ende haben wir doch anscheinend wohl ein Minimum bei 0 gefunden, obwohl wir doch zeigen wollen, dass wenn die Isometrie parabolisch ist, wir kein Minimum finden können!
Ich hoffe jemand versteht diesen Beweis besser, als ich :(
Vielen Dank und Grüße!
Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 So 01.02.2015 | | Autor: | hippias |
Leider kenne ich mich mit den verwendeten Begriffen nicht aus. Grudsaetzlich zum Beweisaufbau ist folgendes Festzustellen.
In
> Hat die hyperbolische Isometrie h einen Fixpunkt, so ist
> das Minimum von [mm]d_h[/mm] gleich 0.
> Hat ein fixpunktfreies h eine invariante Gerade, so ist
> das
> Infimum von [mm]d_h[/mm] gleich der Translationslänge von h
> entlang der Achse.
>
muesste gemeint sein, dass, wenn $h$ keine parbolische Spiegelung ist, nur noch die Faelle moeglich sind, dass $h$ einen Fixpunkt besitzt oder fixpunktfrei ist, dafuer aber eine Fixgerade besitzt. Fuer diese beiden Faelle wird festgestellt, dass $d$ dann ein Minimum besitzt, d.h. das Infimum angenommen wird.
Formal ist dies der Beweisschritt: [mm] $\neg A\Rightarrow \neg [/mm] B$.
In
> Ist g = [mm]S_{l_2} \circ S_{l_1}[/mm] parabolisch, so wird [mm]l_1[/mm] und
> damit jede zu [mm]l_1[/mm] asymptotische Gerade von g auf eine zu
> [mm]l_1[/mm] asymptotische Gerade geschickt.
> Deswegen kann g keine Drehung sein, also keinen Fixpunkt
> haben. Andererseits, haben Punkte auf [mm]l_1[/mm] beliebig kleinen
> Abstand zu [mm]l_2.[/mm] Deswegen ist das Infimum von [mm]d_g[/mm] gleich 0.
> [mm]\Box[/mm]
geht es um [mm] $A\Rightarrow [/mm] B$.
> Und was wird bei der Hinrichtung überhaupt gezeigt? Am
> Ende haben wir doch anscheinend wohl ein Minimum bei 0
> gefunden, obwohl wir doch zeigen wollen, dass wenn die
> Isometrie parabolisch ist, wir kein Minimum finden
> können!
Nein, da musst Du aufmerksamer lesen. Es wurde kein Minimum $=0$ geschussfolgert, sondern ein Infimum $=0$.
> Hallo zusammen,
> ich versuche mich gerade auf eine Geometrie-Klausur
> vorzubereiten und verstehe irgendwie einen Beweis nicht so
> recht. Ich schreib ihn einfach mal auf:
>
> Definition: Sind zwei Geraden [mm]l_1[/mm] und [mm]l_2[/mm] asymptotisch und
> verschieden, so heißt g = [mm]S_{l_2} \circ S_{l_1}[/mm] eine
> parabolische Isometrie von H (=hyperbolische Ebene) , wobei
> [mm]S_{l_i}[/mm] Spiegelung an der Geraden [mm]l_i[/mm] ist.
>
> Zu beweisen ist die Aussage:
> Eine hyperbolische Bewegung g ist parabolisch genau dann,
> wenn die Funktion [mm]d_g[/mm] : H [mm]\to \IR[/mm] gegeben durch [mm]d_g(A)[/mm] =
> Ag(A) (Abstand A zum Bildpunkt g(A)) kein Minimum besitzt.
>
> Beweis:
>
> Irgendwie verstehe ich nicht einmal die Struktur des
> Beweises. Es sind ja offensichtlich zwei Richtungen zu
> zeigen.
> Die Hinrichtung beginnt bei "Ist g = [mm]S_{l_2} \circ S_{l_1}[/mm]
> parabolisch, so wird [mm]l_1[/mm] und", soviel ist denke ich klar.
> Doch wo ist die Rückrichtung?
>
> Ich hoffe jemand versteht diesen Beweis besser, als ich :(
> Vielen Dank und Grüße!
> Laura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 02.02.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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