p und n in Binomialverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:29 Di 07.08.2012 | | Autor: | theWHO |
Hallo zusammen,
gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsvariable X, die zählt, wie oft unter n Versuchen ein Ereignis A eintritt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eintritt, ist für jeden Versuch genau p.
Offensichtlich ist X binomialverteilt mit n, p.
Ich würde nun Parameter bestimmen, sodass
P(X >= k) = P(X <= k-1) >= s
ist. Ich habe zwei Fragen:
1. Es seien n [mm] \in [1,\infty], [/mm] k [mm] \in [1,\infty) [/mm] und s [mm] \in [/mm] [0,1] gegeben. Wie kann ich die Wahrscheinlichkeit p bestimmen, damit obige Gleichung gilt?
2. Es seien p [mm] \in [/mm] (0,1), k [mm] \in [1,\infty) [/mm] und s [mm] \in [/mm] [0,1] gegeben. Wie kann ich die Anzahl der Versuche n bestimmen, damit obige Gleichung gilt?
Kann mir jemand helfen? Ich bräuchte eine Lösung in geschlossener Form um sie innerhalb eines Programms zu berechnen.
Vielen Dank für die Hilfe.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=498121
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsvariable X, die zählt,
> wie oft unter n Versuchen ein Ereignis A eintritt. Die
> Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eintritt, ist für
> jeden Versuch genau p.
>
> Offensichtlich ist X binomialverteilt mit n, p.
>
> Ich würde nun Parameter bestimmen, sodass
> P(X >= k) = P(X <= k-1) >= s
> ist. Ich habe zwei Fragen:
>
> 1. Es seien n [mm]\in [1,\infty],[/mm] k [mm]\in [1,\infty)[/mm] und s [mm]\in[/mm]
> [0,1] gegeben. Wie kann ich die Wahrscheinlichkeit p
> bestimmen, damit obige Gleichung gilt?
>
> 2. Es seien p [mm]\in[/mm] (0,1), k [mm]\in [1,\infty)[/mm] und s [mm]\in[/mm] [0,1]
> gegeben. Wie kann ich die Anzahl der Versuche n bestimmen,
> damit obige Gleichung gilt?
>
>
> Kann mir jemand helfen? Ich bräuchte eine Lösung in
> geschlossener Form um sie innerhalb eines Programms zu
> berechnen.
Ganz verstanden habe ich dein Anliegen noch nicht, besonders Punkt 1 ist mir unklar. s ist doch eine Wahrscheinlichkeit?
Aber helfen kann man dir insofern, als man ganz klar sagen kann, dass das nicht funktionieren wird, was du vorhast: die (kumulierte) Binomialverteilung, also die Summe
[mm]\summe_{i=0}^{k}\vektor{n \\
i}*p^i*(1-p)^{n-i} [/mm]
lässt sich nicht geschlossen darstellen. Im Rahmen eines Programms könnte man aber die Binomialverteilung wahlweise durch eine Normalverteilung oder für kleine k (gegenüber n) durch eine Poissonverteilung annähern.
Mir ist eh nicht ganz klar was du möchtest. Im allgemeinen wird für beliebig vorgegebenes s die obige Gleichung gar keine Lösung haben, da die Binomialverteilung diskret ist. Das würde ja bedeuten, du rechnest von vorn herein mit Näherungswerten. Das würde dann für die von mir vorgeschlagene Vorgehensweise sprechen.
EDIT:
Sorry, ich habe die Gleichung falsch gelesen. Siehe dazu den folgenden Beitrag von abakus.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Mi 08.08.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen,
>
> gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsvariable X, die zählt,
> wie oft unter n Versuchen ein Ereignis A eintritt. Die
> Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eintritt, ist für
> jeden Versuch genau p.
>
> Offensichtlich ist X binomialverteilt mit n, p.
>
> Ich würde nun Parameter bestimmen, sodass
> P(X >= k) = P(X <= k-1) >= s
Hallo,
in diesem Fall ist doch s=0,5.
Das bekommst du mit Sicherheit nur hin, wenn p=0,5 und n ungerade ist (dann ist k=(n+1)/2).
Alles andere sind Zufallstreffer, weil es für die meisten "schiefen" Verteilungen so sein wird, dass die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten von k=0 bis zu einem gewissen Wert k=w kleiner als 0,5 ist und von k=0 bis k=w+1 schon größer als 0,5 wird.
Du kannst nur in einem Programm mit einer Zählschleife arbeiten und so lange addieren, bis du den Wert w+1 hast, mit dem 0,5 erstmalig überschritten wird (und dann gegebenenfalls noch mit der Summe bis zum Wert w vergleichen, ob der näher an 0,5 liegt).
Gruß Abakus
> ist. Ich habe zwei Fragen:
>
> 1. Es seien n [mm]\in [1,\infty],[/mm] k [mm]\in [1,\infty)[/mm] und s [mm]\in[/mm]
> [0,1] gegeben. Wie kann ich die Wahrscheinlichkeit p
> bestimmen, damit obige Gleichung gilt?
>
> 2. Es seien p [mm]\in[/mm] (0,1), k [mm]\in [1,\infty)[/mm] und s [mm]\in[/mm] [0,1]
> gegeben. Wie kann ich die Anzahl der Versuche n bestimmen,
> damit obige Gleichung gilt?
>
>
> Kann mir jemand helfen? Ich bräuchte eine Lösung in
> geschlossener Form um sie innerhalb eines Programms zu
> berechnen.
>
> Vielen Dank für die Hilfe.
>
>
>
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=498121
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Mi 08.08.2012 | | Autor: | theWHO |
Vielen Dank für eure Antworten.
Zunächst muss ich mich entschuldigen: ich habe bei der Formel ein essentielles "1-" vergessen und euch damit in die Irre geführt, sorry! Es sollte
P(X => k) = 1 - P(X <= k-1) >= s
heißen. :(
Es kann weiterhin gut sein, dass eine geschlossene Form nicht ohne weiteres möglich ist; die Normalverteilung könnte helfen. Aber auch hier wüsste ich nicht, wie ich die Variablen bestimmen soll.
Ich nenne gerade nochmal die Anwendungszenarien für meine Fragen 1 und 2, damit klar wird, was ich eigentlich erreichen will:
1. p ist gesucht:
Ich habe mobile Einheiten, die sich einer Menge von Zielen zuordnen. Für jedes Ziel wird eine Wahrscheinlichkeit [mm] p_i [/mm] festgelegt, mit welcher sich eine einzelne Einheit diesem Ziel zuordnet. Insgesamt gibt es n Einheiten. Jetzt benötigt jedes Ziel eine Mindestanzahl zugeordneter Einheiten; dies werde durch [mm] k_i [/mm] beschrieben. Mit
P(X >= [mm] k_i)
[/mm]
drücke ich also die Wahrscheinlichkeit aus, dass die geforderte Mindestanzahl für ein Ziel i erfüllt ist.
Ich suche jetzt nach einer Möglichkeit die [mm] p_i [/mm] zu bestimmen, dass für ein Ziel die Mindestanzahl mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von s erfüllt ist, also P(X >= [mm] k_i) [/mm] >= s .
2. n ist gesucht
In einer Gitter-Umgebung sind mobile Einheiten verstreut. In jeder Zelle ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich dort eine Einheit befindet, p. Nun möchte ich in der Umgebung an einer definierten Position einen Kreis einzeichnen. Der Radius r des Kreises ist zu bestimmen, so, dass innerhalb der Kreisfläche [mm] \pi [/mm] * [mm] r^2 [/mm] eine Mindestanzahl [mm] k_i [/mm] an Einheiten mit einer gewissen Sicherheit s liegt. Gesucht ist also r, sodass
P(X >= [mm] k_i) [/mm] >= s
wobei X binomialverteilt ist mit [mm] n=\pi [/mm] * [mm] r^2 [/mm] und p=p.
Ich suche hier also eine Möglichkeit, r und damit n zu bestimmen.
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Hallo,
> Zunächst muss ich mich entschuldigen: ich habe bei der
> Formel ein essentielles "1-" vergessen und euch damit in
> die Irre geführt, sorry! Es sollte
> P(X => k) = 1 - P(X <= k-1) >= s
> heißen. :(
Ok, so hatte ich es sogar zunächst auch verstanden. Insofern gilt das, was ich oben schreib, unverändert.
> Es kann weiterhin gut sein, dass eine geschlossene Form
> nicht ohne weiteres möglich ist; die Normalverteilung
> könnte helfen. Aber auch hier wüsste ich nicht, wie ich
> die Variablen bestimmen soll.
>
> Ich nenne gerade nochmal die Anwendungszenarien für meine
> Fragen 1 und 2, damit klar wird, was ich eigentlich
> erreichen will:
>
> 1. p ist gesucht:
>
> Ich habe mobile Einheiten, die sich einer Menge von Zielen
> zuordnen. Für jedes Ziel wird eine Wahrscheinlichkeit [mm]p_i[/mm]
> festgelegt, mit welcher sich eine einzelne Einheit diesem
> Ziel zuordnet. Insgesamt gibt es n Einheiten. Jetzt
> benötigt jedes Ziel eine Mindestanzahl zugeordneter
> Einheiten; dies werde durch [mm]k_i[/mm] beschrieben. Mit
> P(X >= [mm]k_i)[/mm]
> drücke ich also die Wahrscheinlichkeit aus, dass die
> geforderte Mindestanzahl für ein Ziel i erfüllt ist.
> Ich suche jetzt nach einer Möglichkeit die [mm]p_i[/mm] zu
> bestimmen, dass für ein Ziel die Mindestanzahl mit einer
> Sicherheitswahrscheinlichkeit von s erfüllt ist, also P(X
> >= [mm]k_i)[/mm] >= s .
Da wäre das Stichwort eine Parameterschätzung. Hier geht es konkret um das Konfidenzintervall der Wahrscheinlichkeit p einer Binomialverteilung. Das ist recht fortgeschrittener Stoff, da solltest du dir auf jeden Fall Fachliteratur besorgen. Eines kann man aber gleich sagen: das funktioniert grundsätzlich auch über eine Approximation durch eine Normalverteilung.
>
> 2. n ist gesucht
>
> In einer Gitter-Umgebung sind mobile Einheiten verstreut.
> In jeder Zelle ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich dort
> eine Einheit befindet, p. Nun möchte ich in der Umgebung
> an einer definierten Position einen Kreis einzeichnen. Der
> Radius r des Kreises ist zu bestimmen, so, dass innerhalb
> der Kreisfläche [mm]\pi[/mm] * [mm]r^2[/mm] eine Mindestanzahl [mm]k_i[/mm] an
> Einheiten mit einer gewissen Sicherheit s liegt. Gesucht
> ist also r, sodass
> P(X >= [mm]k_i)[/mm] >= s
> wobei X binomialverteilt ist mit [mm]n=\pi[/mm] * [mm]r^2[/mm] und p=p.
> Ich suche hier also eine Möglichkeit, r und damit n zu
> bestimmen.
Das mit deiner Definition der Zahl n macht keinen Sinn, da [mm] n\IN [/mm] sein muss. Du könntest alternativ
[mm]n=\left \lfloor {\pi*r^2} \right \rfloor[/mm]
oder
[mm]\left \lceil {\pi*r^2} \right \rceil[/mm]
verwenden, je nachdem, was von der Sachlogik her besser passt.
Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariablen mit den Parametern n,p ist ja genau
E(X)=n*p
und über eine Schätzung des Erwartunsgwerts könntest du bei bekanntem p dann n bestimmen.
Aber nochmals zusammengefasst: dein Anliegen erfordert mathematische Werkzeuge, die deutlich über die elementare Stochastik hinausgehen. Wir kennen deinen Kenntnisstand nicht. Vielleicht sagt dir das alles etwas, dann kannst du mit meinen tipps etwas anfangen (oder sie verwerfen, weil dir etwas besseres einfällt  ).
Sonst sehe ich es aber als nicht zielführend an, die hier notwendigen Fachkenntnisse in einem Thread zu erarbeiten. Verfügst du über Fachliteratur?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:23 Do 09.08.2012 | | Autor: | theWHO |
Hi, besten Dank für deine Antwort.
Ich ahnte schon, dass die Lösung komplizierter wird. Kannst du mir konkrete Fachliteratur empfehlen? Ich werde mich dann mal versuchen, darin einzuarbeiten :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:25 Do 09.08.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Hi, besten Dank für deine Antwort.
> Ich ahnte schon, dass die Lösung komplizierter wird.
> Kannst du mir konkrete Fachliteratur empfehlen? Ich werde
> mich dann mal versuchen, darin einzuarbeiten :)
was ich persönlich für sehr gelungen halte, gerade wenn man ein praktisches Ziel vor Augen hat und weniger die Wahrscheinlichkeitstheorie im Sinn hat (obwohl es natürlich ohne Theorie wie immer nicht geht ):
L. Papula, Mathemathik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 3
Gruß, Diophant
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