p-gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Di 10.11.2015 | | Autor: | nkln |
| Aufgabe | | Es sei$ G [mm] \not= \{1\}$ [/mm] eine endliche $p$-Gruppe,d.h. $|G|= [mm] p^n$ [/mm] für eine Primzahl $p$ und ein $n [mm] \in \IN$. [/mm] Zeigen sie ,dass ein $1 [mm] \neq [/mm] z [mm] \in [/mm] G$ existiert,sodass $zg=gz [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G$ ist. |
Hi ,
ich steh' hier nen bisschen aufem Schlauch,aber ich glaub,ich habe etwas.
1. Wir haben in Vl ein Lemma definiert, das Bahnenlemma .$ : G$ operiert auf $X, x [mm] \in [/mm] X$. Die Abb.:$ [mm] G/G_x \to [/mm] G.x, [mm] gG_x \mapsto [/mm] g.x$ ist wohldefiniert und bijektiv. Ist $G $ endlich dann gilt:$ |G.x|||G|.$
dann noch Zentralisator von $x$ in $G$. [mm] $G_x :=\{ g \in G | gx=xg\} [/mm] =: [mm] C_{G}(x)$
[/mm]
und die KonjugiertenKlasse von $ x$ in $G.$ [mm] $G.x:=\{ gxg^{-1}|g \in G \}$
[/mm]
ich weis,das diese 3 Definitionen mich ans Ziel führen,ich weis nur noch nicht wie..:/
Bitte hättet ihr rat?
liebe grüße euch :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Di 10.11.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei[mm] G \not= \{1\}[/mm] eine endliche [mm]p[/mm]-Gruppe,d.h. [mm]|G|= p^n[/mm]
> für eine Primzahl [mm]p[/mm] und ein [mm]n \in \IN[/mm]. Zeigen sie ,dass
> ein [mm]1 \neq z \in G[/mm] existiert,sodass [mm]zg=gz \forall g \in G[/mm]
> ist.
> Hi ,
>
>
> ich steh' hier nen bisschen aufem Schlauch,aber ich
> glaub,ich habe etwas.
>
> 1. Wir haben in Vl ein Lemma definiert, das Bahnenlemma .[mm] : G[/mm]
> operiert auf [mm]X, x \in X[/mm]. Die Abb.:[mm] G/G_x \to G.x, gG_x \mapsto g.x[/mm]
> ist wohldefiniert und bijektiv. Ist [mm]G[/mm] endlich dann gilt:[mm] |G.x|||G|.[/mm]
>
Hier:
> dann noch Zentralisator von [mm]x[/mm] in [mm]G[/mm]. [mm]G_x :=\{ g \in G | gx=xg\} =: C_{G}(x)[/mm]
>
> und die KonjugiertenKlasse von [mm]x[/mm] in [mm]G.[/mm] [mm]G.x:=\{ gxg^{-1}|g \in G \}[/mm]
hast du jeweils die Operation $(g, x) [mm] \mapsto [/mm] g [mm] \cdot [/mm] x$ von $G$ auf sich selber.
> ich weis,das diese 3 Definitionen mich ans Ziel führen,ich
> weis nur noch nicht wie..:/
Überlege dir folgendes:
$G$ ist disjunkte Vereinigung von Konjugiertenklassen. Die einelementigen Konjugiertenklassen gehören zu Elementen im Zentrum der Gruppe, und die anderen zu Elementen ausserhalb des Zentrums. Weiterhin sind Konjugiertenklassen Untergruppen der Gruppe $G$.
LG Felix
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