p-Sylow-Untergruppen bestimmen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Mo 08.01.2024 | | Autor: | Euler123 |
| Aufgabe | | Bestimme alle [mm] \( [/mm] p [mm] \)-Sylow-Untergruppen [/mm] von [mm] \mathbb{Z} [/mm] / 509796 [mm] \mathbb{Z}=\mathbb{Z} [/mm] /(21 [mm] \cdot [/mm] 12 [mm] \cdot [/mm] 2023) [mm] \mathbb{Z}. [/mm] |
Ich bin mir noch nicht ganz sicher, ob ich das mit den p-Sylow-Untergruppen so richtig verstanden habe bzw. wie ich diese nun wirklich formal richtig bestimme.
Es gilt ja folgendes: Sei p eine Primzahl und [mm] p^{k} [/mm] für ein k [mm] \in \mathbb{N} [/mm] ein Teiler von |G|, dann besitzt G eine Untergruppe der Ordnung [mm] p^{k} [/mm] und insbesondere hat G eine p-Sylow-Untergruppe.
Die PFZ lautet ja nun: 509796=2 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] 7 [mm] \cdot [/mm] 7 [mm] \cdot [/mm] 17 [mm] \cdot [/mm] 17 und die Ordnung von G wird durch die Anzahl der p-Sylow-Untergruppen geteilt. Diese ist [mm] \equiv 1(\bmod [/mm] p).
Die möglichen Sylow-2-Untergruppen haben die Ordnung [mm] 2^4
[/mm]
Die möglichen Sylow-3-Untergruppen haben die Ordnung [mm] 3^2
[/mm]
Die möglichen Sylow-7-Untergruppen haben die Ordnung [mm] 7^2
[/mm]
Die möglichen Sylow-17-Untergruppen haben die Ordnung [mm] 17^2
[/mm]
Bei der Sylow-2-Untergruppen beispeilsweise betrachte ich ja dann (p=2) - dabei ist die Ordnung 16 isomorph zu [mm] \mathbb{Z} [/mm] / 16 [mm] \mathbb{Z}. [/mm] Muss ich dann 16 in [mm] \mathbb{Z} [/mm] / 509796 [mm] \mathbb{Z} [/mm] betrachten? - muss ich dann alle möglichen Elemente aufschreiben?
Über eine Erklärung zur Vorgehensweise würde ich mich echt freuen :)
LG Euler
PS: Ich hatte diese Frage vor geraumer Zeit schon mal wo anders gestellt, aber keine wirkliche Rückmeldung erhalten!
https://www.mathelounge.de/1053366/bestimme-alle-p-sylow-untergruppen-von-509796-21-12-2023
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 Di 09.01.2024 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Bestimme alle [mm]\([/mm] p [mm]\)-Sylow-Untergruppen[/mm] von [mm]\mathbb{Z}[/mm] /
> 509796 [mm]\mathbb{Z}=\mathbb{Z}[/mm] /(21 [mm]\cdot[/mm] 12 [mm]\cdot[/mm] 2023)
> [mm]\mathbb{Z}.[/mm]
> Ich bin mir noch nicht ganz sicher, ob ich das mit
> den p-Sylow-Untergruppen so richtig verstanden habe bzw.
> wie ich diese nun wirklich formal richtig bestimme.
>
> Es gilt ja folgendes: Sei p eine Primzahl und [mm]p^{k}[/mm] für
> ein k [mm]\in \mathbb{N}[/mm] ein Teiler von |G|, dann besitzt G
> eine Untergruppe der Ordnung [mm]p^{k}[/mm] und insbesondere hat G
> eine p-Sylow-Untergruppe.
>
> Die PFZ lautet ja nun: 509796=2 [mm]\cdot[/mm] 2 [mm]\cdot[/mm] 3 [mm]\cdot[/mm] 3
> [mm]\cdot[/mm] 7 [mm]\cdot[/mm] 7 [mm]\cdot[/mm] 17 [mm]\cdot[/mm] 17 und die Ordnung von G
> wird durch die Anzahl der p-Sylow-Untergruppen geteilt.
> Diese ist [mm]\equiv 1(\bmod[/mm] p).
>
> Die möglichen Sylow-2-Untergruppen haben die Ordnung [mm]2^4[/mm]
Die möglichen Sylow-2-Untergruppen haben die Ordnung [mm]2^{2}[/mm],
eine Untergruppe der Ordnung 16 gibt es nicht.
> Die möglichen Sylow-3-Untergruppen haben die Ordnung [mm]3^2[/mm]
> Die möglichen Sylow-7-Untergruppen haben die Ordnung [mm]7^2[/mm]
> Die möglichen Sylow-17-Untergruppen haben die Ordnung
> [mm]17^2[/mm]
Das sind keine möglichen Untergruppen, sondern sie sind wirklich da. Das ist gerade einer der Sylow-Sätze.
Nun ist diese Gruppe ja auch noch zyklisch (mit Erzeuger 1), und bei zyklischen Gruppen kennt man die Untergruppen. Zu jedem Teiler der Gruppenordnung gibt es genau eine Untergruppe. Damit sollte das klar sein.
Gruß Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Di 09.01.2024 | | Autor: | Euler123 |
Hallo Dieter,
Danke dir vielmals - ich glaube jetzt sehe ich schon klarer (die Algebra liegt mir einfach noch nicht so gut) :).
Habe ich das so nun richtig verstanden?
Es gibt jeweils eine eindeutige p-Sylow-Untergruppe für p=2,3,7,17, und diese sind jeweils zyklisch. Die spezifischen Formen der p-Sylow-Untergruppen [mm] P_{p} [/mm] kann ich dann mithilfe der Ordnung der jeweiligen Primzahlen p bestimmen:
Die 2-Sylow-Untergruppe: [mm] \mathbb{Z} [/mm] / 4 [mm] \mathbb{Z} [/mm] (Ordnung [mm] 2^{2})
[/mm]
Die 3-Sylow-Untergruppe: [mm] \mathbb{Z} [/mm] / 9 [mm] \mathbb{Z} [/mm] (Ordnung [mm] 3^{2})
[/mm]
Die 7-Sylow-Untergruppe: [mm] \mathbb{Z} [/mm] / 49 [mm] \mathbb{Z}(Ordnung 7^{2})
[/mm]
Die 17-Sylow-Untergruppe: [mm] \mathbb{Z} [/mm] / 289 [mm] \mathbb{Z} [/mm] (Ordnung [mm] 17^{2})
[/mm]
Würde mich sehr freuen, wenn dir mir dann nochmal kurz Rückmelden könntest, ob das nun so stimmt (oder ob ich immer noch den Wald vor lauter Bäumen nicht sehe :))
LG Euler
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Di 09.01.2024 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Habe ich das so nun richtig verstanden?
> Es gibt jeweils eine eindeutige p-Sylow-Untergruppe für
> p=2,3,7,17, und diese sind jeweils zyklisch. Die
> spezifischen Formen der p-Sylow-Untergruppen [mm]P_{p}[/mm] kann
> ich dann mithilfe der Ordnung der jeweiligen Primzahlen p
> bestimmen:
>
> Die 2-Sylow-Untergruppe: [mm]\mathbb{Z}[/mm] / 4 [mm]\mathbb{Z}[/mm] (Ordnung
> [mm]2^{2})[/mm]
Das ist so falsch geschrieben. Die 2-Sylow-Untergruppe wird von 127449 mod 509796 erzeugt (oder auch von 382347 mod 509796). Oder anders gesagt: Sie besteht aus den Restklassen von 0, 127449, 254898 und 382347. Oder aus den 4 Restklassen [mm] 127449$\cdot$k, [/mm] k = 1, 2, 3, 4.
Das gilt entsprechend auch für die anderen Untergruppen.
Gruß Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Mi 10.01.2024 | | Autor: | Euler123 |
Hi Dieter,
Danke dir abermals - so ganz verstanden habe ich es jetzt leider immer noch nicht (vermutlich ist es eh recht trivial, wenn man es dann mal verstehen würde :))
Ich habe es jetzt mal für die anderen Untergruppen versucht:
3-Sylow-Untergruppe:
169932 [mm] \bmod [/mm] 509796=169932 --> Restklassen 0,56644,113288,169932,226676,283420,340164,396908,453652
7-Sylow-Untergruppe:
10407 [mm] \bmod [/mm] 509796=10407 --> Restklassen 0,10407,20814,31221,41628,52035,62442,72849, [mm] \ldots, [/mm] 509697 (insgesamt 49)
17-Sylow-Untergruppe:
1764 [mm] \bmod [/mm] 509796=1764--> Restklassen 0,1764,3528,5292,7056,8820,10584,12348, [mm] \ldots, [/mm] 509736,509700 (insgesamt 289)
Stimmt es jetzt ?? :)
LG Euler
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 Mi 10.01.2024 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Danke dir abermals - so ganz verstanden habe ich es jetzt
> leider immer noch nicht (vermutlich ist es eh recht
> trivial, wenn man es dann mal verstehen würde :))
>
> Ich habe es jetzt mal für die anderen Untergruppen
> versucht:
>
> 3-Sylow-Untergruppe:
> 169932 [mm]\bmod[/mm] 509796=169932 --> Restklassen
> 0,56644,113288,169932,226676,283420,340164,396908,453652
Die Zahlen stimmen nicht! ..., 226576, 283220, 339864, 396508, 453152
>
> 7-Sylow-Untergruppe:
> 10407 [mm]\bmod[/mm] 509796=10407 --> Restklassen
> 0,10407,20814,31221,41628,52035,62442,72849, [mm]\ldots,[/mm] 509697
> (insgesamt 49)
Das erzeugende Element ist 509796 : 49 = 10404, die Restklassen sind dann 10404 [mm] $\cdot$ [/mm] k für k = 0, ..., 48.
>
> 17-Sylow-Untergruppe:
> 1764 [mm]\bmod[/mm] 509796=1764--> Restklassen
> 0,1764,3528,5292,7056,8820,10584,12348, [mm]\ldots,[/mm]
> 509736,509700 (insgesamt 289)
Die beiden letzten Zahlen sind 1764 [mm] $\cdot$ [/mm] 287 = 506268 und 1764 [mm] $\cdot$ [/mm] 288 = 508032.
>
> Stimmt es jetzt ?? :)
s. o.
Dein Gerechne, also woher deine Fehler kommen, ist mir unklar.
LG Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 Mi 10.01.2024 | | Autor: | Euler123 |
Hallo Dieter,
Ich danke dir vielmals für deine tolle Hilfe und deine Geduld - habe es nun doch noch verstanden :)!
LG Euler
PS: Ich will dir sagen woher diese dummen Rechenfehler kommen - Ich habe eine starke Sehbeeinträchtigung und könnte mich, wo ich das gemacht habe einfach nicht mehr so gut konzentrieren (habe mich also wahrscheinlich einfach vertippt bzw. mich bei den Zahlen verschaut).
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