p-Norm und Maximums-Norm < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Theta |
| Aufgabe | 1. Zeigen Sie: Für [mm] p\in[1,\infty] [/mm] ist [mm] \parallel\cdot\parallel_{p} [/mm] mit [mm] \parallel x\parallel_p=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p} [/mm] eine Norm auf dem [mm] \mathbb{R}^n
[/mm]
2. Für alle [mm] x\in\mathbb{R}^n [/mm] gilt [mm] \limes_{p\rightarrow\infty}\parallel x\parallel_p=\parallel x\parallel_{\infty}=max\{|x_i| | i=1,...,n\} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich arbeite momentan an obiger Aufgabe und könnte stellenweise etwas Hilfe gebrauchen.
Zunächst habe ich [mm] p\in[1,\infty) [/mm] betrachtet und dann die Maximumsnorm noch mal zusätzlich nachgewiesen. Beim ersten Fall fehlt mir aber der Trick mit der richtigen Abschätzung für die Dreiecksungleichung. Ich komme bis:
[mm] (\parallel x+y\parallel_p)^p=\sum_{i=1}^n |x_i [/mm] + [mm] y_i|^p=\sum_{i=1}^n\sum_{k=0}^p\vektor{p \\ k}x_i^{p-k}y_i^k
[/mm]
Und vor da will ich zu:
[mm] \leq \sum_{i=1}^n |x_i|^p\sum_{i=1}^n|y_i|^p=\parallel x\parallel_p \parallel y\parallel_p
[/mm]
Bislang will mir aber die Abschätzung zwischen beiden Seiten nicht gelingen.
Und zur zweiten Aufgabe habe ich noch keine richtige Idee. Wäre nett, wenn ich den einen oder anderen Hinweis bekommen könnte.
Vielen Dank und Grüße aus Hamburg,
Theta
Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum und auf keiner anderen Internetseite gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Mo 04.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu 1. Minkowskische Ungleichung:
http://www.mathepedia.de/Minkowskische_Ungleichung.aspx
Zu 2.:
Sei x = [mm] (x_1, [/mm] ..., [mm] x_n) \in \IR^n. [/mm] Es gibt ein [mm] j_0 \in [/mm] {1, ..., n} mit
[mm] $|x_{j_0}| [/mm] = [mm] ||x||_{\infty}$
[/mm]
Dann:
[mm] $||x||_{\infty} [/mm] = [mm] (|x_{j_0}|^p)^{1/p} \le (\summe_{i=1}^{n}|x_{j}|^p)^{1/p} [/mm] = [mm] ||x||_p \le (\summe_{i=1}^{n}|x_{j_0}|^p)^{1/p} [/mm] = [mm] (n|x_{j_0}|^p)^{1/p} [/mm] = [mm] \wurzel[p]{n}||x||_{\infty}$
[/mm]
Also
[mm] $||x||_{\infty} \le ||x||_p \le \wurzel[p]{n}||x||_{\infty}$
[/mm]
Jetzt $p [mm] \to \infty$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:24 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Theta |
Minkowskische Ungleichung haben wir nicht gehabt, aber den Beweis sollte man hinbekommen.
Und zu 2. werde ich mal sehen ob ich da nicht was hinbekomme.
Jedenfalls erstmal danke für die Hinweise.
Gruß,
Theta
|
|
|
|
