p-Adische Zahl 1/2 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Mo 09.03.2009 | | Autor: | self |
| Aufgabe | Aufgabe 13.3:
Zeigen Sie, dass 1/2 und 7/4 Element in [mm] \mathbb{Z}_5 [/mm] sind und berechnen Sie die ersten vier Stellen der Potenzreihenentwicklung |
Ich lerne gerade Anhand von Elementare und algebraische Zahlentheorie
Ein moderner Zugang zu klassischen Themen / ISBN: 978-3-8348-0211-8
Mit [mm] \mathbb{Z}_5 [/mm] sind die ganzen p-adischen Zahlen zur Primzahl 5 gemeint.
Anhand der obigen Aufgabe ist bei mir gerade irgendwie ein Grundlegendes verständnis Problem der p-Adischen Zahlen aufgefallen. Im Buch gibt's auch den Lösungshinweis 1/2 = 3 + 2 * 5 + 2 * [mm] 5^2 [/mm] + 2 * [mm] 5^3 [/mm] ...
Mir ist völlig unklar, wie z.B. der Bruch 1/2 im Ring der Ganzen p-Adischen (p=5) enthalten sein soll. Ich dachte da sind nur Wurzeln von ganzen Zahlen drin ?
Grüße, Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Mo 09.03.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Alex
> Aufgabe 13.3:
> Zeigen Sie, dass 1/2 und 7/4 Element in [mm]\mathbb{Z}_5[/mm] sind
> und berechnen Sie die ersten vier Stellen der
> Potenzreihenentwicklung
>
> Ich lerne gerade Anhand von Elementare und algebraische
> Zahlentheorie
> Ein moderner Zugang zu klassischen Themen / ISBN:
> 978-3-8348-0211-8
>
> Mit [mm]\mathbb{Z}_5[/mm] sind die ganzen p-adischen Zahlen zur
> Primzahl 5 gemeint.
>
> Anhand der obigen Aufgabe ist bei mir gerade irgendwie ein
> Grundlegendes verständnis Problem der p-Adischen Zahlen
> aufgefallen. Im Buch gibt's auch den Lösungshinweis 1/2 = 3
> + 2 * 5 + 2 * [mm]5^2[/mm] + 2 * [mm]5^3[/mm] ...
> Mir ist völlig unklar, wie z.B. der Bruch 1/2 im Ring der
> Ganzen p-Adischen (p=5) enthalten sein soll. Ich dachte da
> sind nur Wurzeln von ganzen Zahlen drin ?
Wieso sollten da nur Wurzeln von ganzen Zahlen drinnen sein? Da drinnen gibt es noch wesentlich viel mehr Elemente! Zum Beispiel auch [mm] $\frac{a}{b}$, [/mm] wenn $b$ nicht durch $p$ teilbar ist.
Aber wie zeigt man das nun?
Eine Moeglichkeit ist, ueber das Henselsche Lemma zu gehen. (Hattet ihr das?) Das Element [mm] $\frac{7}{4}$ [/mm] ist Nullstelle des Polynoms $f := 4 x - 7 [mm] \in \IZ[x]$. [/mm] Nun ist $f(3) [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{5}$ [/mm] und $f'(3) [mm] \not\equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{5}$. [/mm] Damit kannst du das Henselsche Lemma bequemen, wonach es genau ein Element $z [mm] \in \IZ_5$ [/mm] gibt mit $f(z) = 0$ und $z [mm] \euqiv [/mm] 3 [mm] \pmod{5}$.
[/mm]
Alternativ kannst du $7/4$ auch modulo 5, [mm] $5^2$, $5^3$, [/mm] ... ausrechnen; damit bekommst du dann $7/4 = 3 + [mm] \bullet \cdot [/mm] 5 + [mm] \bullet \cdot 5^2 [/mm] + [mm] \dots$ [/mm] (wobei du die Werte fuer [mm] $\bullet$ [/mm] noch selber herausfinden musst); etwa wenn du $7/4$ modulo [mm] $5^2$ [/mm] hast kannst du das als $3 + x [mm] \cdot [/mm] 5$ schreiben, und $x$ ist dann der Wert vom ersten [mm] $\bullet$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Di 10.03.2009 | | Autor: | self |
Das Henselsche Lemma steht weiter hinten im Buch, vielleicht ist die Aufgabe auch einfach nur schlecht platziert.
Ich habe auch überlegt, ob man sich nicht bei der Aufgabenstellung vertan hat und eigentlich um [mm] \mathbb{Q}_p [/mm] gemeint war ... denn 1/2 sieht irgendwie für einen noch-p-adische-Zahlen-Laien schon eher nach nem Bruch aus als nach einer ganzen p-adischen Zahl.
Im Buch werden die p-adischen Zahlen mit der Lösung der Gleichung X-2 [mm] \kongruent [/mm] 0 mod [mm] 7^k [/mm] motiviert und dann halt k gegen unendlich laufen gelassen. Die Polynome kommen erst später. Da ist mir das klar.
Das ist ja die "normale Darstellung" der ganzen p-adischen Zahlen:
Definition 13.1: [mm] \mathbb{Z}_p [/mm] = [mm] \{ (\overline{x_k}) \in \produkt_{k=0}^{\infty} \mathbb{Z}/p^{k+1}\mathbb{Z} | x_{k+1} \equiv x_k mod p^{k+1} \}
[/mm]
Die hilft wohl aber auch nicht weiter sich klar zu machen, dass normale Brüche wie 1/2 in [mm] \mathbb{Z}_p [/mm] liegen.
Ich hätte jetzt erwartet das bei der Potenzreihendarstellung wieder der Tatsächliche Zahlenwert rauskommt, aber irgendwie scheint die vorgeschlagene Lösung im Buch
1/2 = 3 + 2 * 5 + 2 * $ [mm] 5^2 [/mm] $ + 2 * $ [mm] 5^3 [/mm] $ ...
ja so garnicht gegen einhalb zu laufen ...
Irgendwie habe ich das Gefühl, dass ich da nen wichtigen Denkfehler drin habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Di 10.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1/2 ist hier nur ne Kurzschreibweise fuer das multiplikative in verse von 2. da 2*3=1 mod 5 ist ist 1/2=3 und 1/3=2
1/4=4 usw.
Gruss leduart
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