orthonormale Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Mo 17.12.2007 | | Autor: | Kroni |
| Aufgabe | Berechne die orthonormale Basis des linearen Unterraums
[mm] $U:=\{x\in\IR^4|x_1+3x_2-x_3+x_4=0\}$
[/mm]
|
Hi,
ich weiß, dass der Unterraum U der Nullraum meiner Matrix [mm] $\pmat{1&2&-1&1}$ [/mm] ist.
Nun, jetzt fehlt mir jedoch die Idee, wie ich aus dieser Matrix die Basis des Nullraums rausziehe. Denn wenn ich ja die Basis habe, ist es ja mit Gram-Schmidt nicht mehr so schwer, die orthonormale Basis des Unterraums zu berechnen. Aber mir fehlt gerade das Wissen, wie ich an die Basis komme.
Wäre nett, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen würde.
LG
Kroni
|
|
| |
|
> Berechne die orthonormale Basis des linearen Unterraums
>
> [mm]U:=\{x\in\IR^4|x_1+3x_2-x_3+x_4=0\}[/mm]
>
>
> Hi,
>
> ich weiß, dass der Unterraum U der Nullraum meiner Matrix
> [mm]\pmat{1&2&-1&1}[/mm] ist.
Hallo,
genau, Du brauchst den Kern der Matrix [mm] \pmat{1&3&-1&1}
[/mm]
bzw. den Lösungsraum des Gleichungs"systems" [mm] x_1+3x_2-x_3+x_4=0.
[/mm]
Ich weiß nicht, was bei Euch bisher so alles dran war, daher spreche ich jetzt mal übers Gleichungssystem.
Du hast hier 4 Variable, von denen Du drei frei wählen kannst.
Du kannst z.B. sagen:
[mm] x_4:=\lambda
[/mm]
[mm] x_3:=\mu
[/mm]
[mm] x_2:=\nu
[/mm]
Hierdurch ist dann [mm] x_1 [/mm] festgelegt:
[mm] x_1=...
[/mm]
Das kannst Du Dir anschließend hübsch sortieren:
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\x_3\\x_3}=\lambda*\vektor{... \\ ...\\...\\...}+mu*\vektor{... \\ ...\\...\\...}+\nu*\vektor{... \\ ...\\...\\...}
[/mm]
Ich vermute, daß Du nun siehst, welches eine Basis des Lösungsraumes ist.
Die kannst Du dann orthonormieren.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Mo 17.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi,
danke für deine Antwort, stand da gerade aufm Schlauch.
Nun meine Lösung:
x_1=-2x_2+x_3-x_4
Und das führt zu
$L={\lambda\pmat{-2\\1\\0\\0}+\mu\pmat{1\\0\\1\\0}+\nu\pmat{-1\\0\\0\\1}$
So müsste das stimmen oder?
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
> So müsste das stimmen oder?
>
Ja, sofern Dein zweiter Koeffizient in der Gleichung eine 2 ist und nicht eine 3, wie ursprünglich geschrieben.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
