orthogonales komplement < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:01 Sa 12.06.2010 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Sei V ein endlichdimensionaler und unitärer [mm] \IC-Vektorraumd [/mm] und W, U seien Unterräume von V.
Sei [mm] \pi: V\to [/mm] W die zur Zerlegung [mm] V=W+W^{\perp} [/mm] gehörige Projektion.
z.z.:
1) [mm] \forall v\in [/mm] V: [mm] \pi(v) [/mm] ist gerade derart, dass der Abstand von v und [mm] \pi(v) [/mm] minimal ist. Zeigen Sie Eindeutigkeit und Existenz eines den Abstand zu [mm] v\in [/mm] V minimierenden Elementes von W.
2) [mm] (W+U)^{\perp}=W^{\perp}\cap U^{\perp} [/mm] und [mm] (W\cap U)^{\perp}=W^{\perp}+U^{\perp} [/mm] |
Heyho
Wenn ich 1) richtig verstehe, muss man "lediglich" zeigen:
[mm] \forall v\in [/mm] V [mm] \exists! w\in [/mm] W: [mm] min(\{d(v,x)|x\in W\})=d(v,w)
[/mm]
Aber wie man das zeigt, ist mir nicht ansatzweise klar...
Bei 2) fehlt mir nur noch, das zweite, genauer, dass [mm] (W\cap U)^{\perp}\subset(W^{\perp}+U^{\perp})
[/mm]
Sonst hab ich da mit Basen argumentiert, bei dieser Richtung fällt mir das allerdings etwas schwer...
Kann man das auch ohne Basen zeigen? Oder wie mache ich das mit Basen?
lg
valoo
|
|
| |
|
> 2) [mm](W+U)^{\perp}=W^{\perp}\cap U^{\perp}[/mm] und [mm](W\cap U)^{\perp}=W^{\perp}+U^{\perp}[/mm]
>
> Heyho
>
> Wenn ich 1) richtig verstehe, muss man "lediglich" zeigen:
> [mm]\forall v\in[/mm] V [mm]\exists! w\in[/mm] W: [mm]min(\{d(v,x)|x\in W\})=d(v,w)[/mm]
>
> Aber wie man das zeigt, ist mir nicht ansatzweise klar...
>
> Bei 2) fehlt mir nur noch, das zweite, genauer, dass [mm](W\cap U)^{\perp}\subset(W^{\perp}+U^{\perp})[/mm]
Eigentlich geht das auch ohne Basen, wenn du schon die andere Aussage [mm](W+U)^{\perp}=W^{\perp}\cap U^{\perp}[/mm] gezeigt hast, denn
[mm](W\cap U)^{\perp}=(W^{\perp\perp}\cap U^{\perp\perp})^{\perp}=(W^{\perp}+U^{\perp})^{\perp\perp}=(W^{\perp}+U^{\perp})[/mm]
>
> Sonst hab ich da mit Basen argumentiert, bei dieser
> Richtung fällt mir das allerdings etwas schwer...
> Kann man das auch ohne Basen zeigen? Oder wie mache ich
> das mit Basen?
>
> lg
> valoo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 So 13.06.2010 | | Autor: | valoo |
Huhu!
Gut, Aufgabe 2 hab ich jetzt hingekriegt...
Hätte auch selbst auf die Idee kommen können, den ersten Teil zu verwenden -_-
Naja, aber bei der ersten Aufgabe hab ich immer noch nicht wirklich ne Idee...
Besonders bei der Existenz...
Bei der Eindeutigkeit ist schon eher klar, war zu zeigen ist. Aber auch da komm ich nicht wirklich weiter...
Seien [mm] v\in [/mm] V und [mm] w_{1},w_{2}\in [/mm] W mit
[mm] min(\{d(v,x)|x\in W\})=d(v,w_{1})=d(v,w_{2})
[/mm]
z.z.: [mm] w_{1}=w_{2}
[/mm]
Mmh? Hilft es irgendwie wenn man sich darüber klar wird, was d eigentlich ist???
[mm] d(v,w)=\wurzel{}
[/mm]
Irgendwie denk ich grad fast, dass das sogar nicht eindeutig ist...
Was ist denn wenn v im orthogonalen Komplement von W ist? Dann kommt da doch für jedes w Null raus...
Es gibt also viel mehr als nur ein Element, dass den Abstand minimiert...
Denk ich bei dieser Aufagbe irgendwie falsch???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:49 Di 15.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gut, Aufgabe 2 hab ich jetzt hingekriegt...
> Hätte auch selbst auf die Idee kommen können, den ersten
> Teil zu verwenden -_-
>
> Naja, aber bei der ersten Aufgabe hab ich immer noch nicht
> wirklich ne Idee...
> Besonders bei der Existenz...
Da hast du doch in der Aufgabenstellung einen wundervollen Tipp bekommen: du sollst zeigen, dass [mm] $\pi(v)$ [/mm] der gesuchte Vektor $w$ ist.
Damit ist auch der Eindeutigkeitsbeweis einfacher: ist $w'$ ein weiterer Vektor aus $W$, so ist [mm] $\pi(v) [/mm] - w' [mm] \in [/mm] W$ orthogonal zu [mm] $\pi(v) [/mm] - v$ (warum?). Deswegen gilt $d(v, [mm] w')^2 [/mm] = [mm] \| [/mm] v - w' [mm] \|^2 [/mm] = [mm] \| [/mm] v - [mm] \pi(v) \|^2 [/mm] + [mm] \| \pi(v) [/mm] - w' [mm] \|^2$ [/mm] (warum?), womit man sofort sieht, dass $d(v, w') [mm] \ge [/mm] d(v, [mm] \pi(v))$ [/mm] gilt fuer alle $w' [mm] \in [/mm] W$ und dass Gleichheit nur dann herrscht, falls [mm] $\pi(v) [/mm] = w'$ ist.
LG Felix
|
|
|
|
