orthogonale Vektor bestimmen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:04 Di 09.11.2004 | | Autor: | superwolfi |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe 2 Vektoren
x1 = [mm] \vektor{1/3 \\ -2/3 \\ -2/3}
[/mm]
x2 = [mm] \vektor{2/3 \\ -1/3 \\ 2/3}
[/mm]
welche orthogonale Einheitsvektoren sind.
ich soll einen Vektor bilden der zu beiden orthogonal ist. (x3)
Mein Angang wäre über das Skalarprodukt
1/3 *x31 -2/3 *x32 -2/3 *x33 = 0
2/3 *x32 -1/3 *x32 2/3 * x33 = 0
aber ich habe nur 2 formeln für 3 unbekannte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:55 Di 09.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo superwolfi,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Ich habe 2 Vektoren
> x1 = [mm]\vektor{1/3 \\ -2/3 \\ -2/3}
[/mm]
> x2 = [mm]\vektor{2/3 \\ -1/3 \\ 2/3}
[/mm]
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> welche orthogonale Einheitsvektoren sind.
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> ich soll einen Vektor bilden der zu beiden orthogonal ist.
> (x3)
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> Mein Angang wäre über das Skalarprodukt
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> 1/3 *x31 -2/3 *x32 -2/3 *x33 = 0
> 2/3 *x32 -1/3 *x32 2/3 * x33 = 0
Ich schreibe es nur nochmal schöner mit dem Formeleditor:
[mm] $\frac{1}{3}x_{31}-\frac{2}{3}x_{32}-\frac{2}{3}x_{33}=0$
[/mm]
[mm] $\frac{2}{3}x_{31}-\frac{1}{3}x_{32}+\frac{2}{3}x_{33}=0$
[/mm]
wobei bei dir der gesuchte Vektor die Form [mm]x_3=\vektor{x_{31} \\ x_{32} \\ x_{31}}[/mm] hat. Dein Ansatz und deine Gleichungen sind vollkommen okay! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber ich habe nur 2 formeln für 3 unbekannte
Das ist aber nicht schlimm. Wenn die zwei Vektoren [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] des [mm] $\IR^3$ [/mm] linear unabhängig sind, so kannst du dir überlegen, dass sie einen zweidimensionalen Unterraum des [mm] $\IR^3$ [/mm] aufspannen können, was dann eine Ebene durch den Nullvektor (oder Ursprung) ist. Nun gibt es, das hast du sicherlich mal gelernt, dann auch (mindestens) einen Vektor, der senkrecht auf diese Ebene steht. Nennen wir ihn mal [mm] $v^{\;'}\in \IR^3$. [/mm]
Jetzt gilt aber auch, dass jede "Streckung/Stauchung" dieses Vektors immer noch senkrecht auf die Ebene steht, d.h. steht [mm] $v^{\;'}$ [/mm] senkrecht auf die Ebene, so steht auch [mm] $\alpha*v^{\;'}$ [/mm] senkrecht auf die Ebene für alle [mm] $\alpha \in \IR$.
[/mm]
Deswegen wäre es auch schlecht, wenn das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung liefern würde (was bei drei Gleichungen mit drei Variablen übrigens auch nicht zwingend sein muss!).
Wie findest du nun einen Vektor, der das gewünschte leistet?
Hier bietet es sich an, die beiden Gleichungen zu addieren. Damit eliminiert man nämlich das [mm] $x_{33}$. [/mm] Du bekommst dann eine Gleichung mit zwei Variablen (hier: [mm] $x_{31}$ [/mm] und [mm] $x_{32}$). [/mm] Eine davon kannst du fest wählen (wähle sie aber ungleich $0$, sonst erhieltest du als Lösungsvektor den trivialen Vektor [m]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/m]).
Dann kannst du die anderen beiden Variablen auch ausrechnen (du hattest ja eine Gleichung mit den Variablen [mm] $x_{31}$ [/mm] und [mm] $x_{32}$; [/mm] wenn du für eine einen Wert festlegst, so ist wegen der Gleichung mit den Variablen [mm] $x_{31}$ [/mm] und [mm] $x_{32}$ [/mm] die andere automatisch auch festgesetzt; dann hast du ja noch irgendwo eine Gleichung mit allen drei Variablen, setzt dort die zwei nun festen Werte für [mm] $x_{31}$ [/mm] und [mm] $x_{32}$ [/mm] ein und kannst damit den Wert für [mm] $x_{33}$ [/mm] ausrechnen!) und bekommst einen Vektor $v$, der auf [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] senkrecht steht.
(Es gibt zwar noch unendlich viele weitere Vektoren, die auf [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] senkrecht stehen; diese sind aber alle von der Form:
[mm] $\alpha*v$ [/mm] mit einem [mm] $\alpha \in \IR$.
[/mm]
Aber das nur nebenbei. Du brauchst ja nur einen, und einen solltest du, wenn du wie oben beschrieben vorgehst, finden!)
Übrigens: Das ![[]](/images/popup.gif) Kreuzprodukt zwischen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] hätte dir direkt einen Vektor geliefert, der senkrecht auf [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] steht.
Viele Grüße,
Marcel
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