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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Mi 19.05.2010 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | Man finde zu der Matrix A eine reele orthogonale Matrix P so, dass PAP(hoch t) Diagonalform hat.
A= ( 1 1 1
1 1 1
1 1 1) |
Ich konnte bereits die Eigenwerte bestimmen:
c1=0
c2=0
c3=3
und die zugehörigen Eigenvektoren:
v1=(-1 0 1)
v2=(-1 1 0)
v3=(1 1 1)
Ich muss diese nun mit dem Gram Schmidt Verfahren Orthonormalisieren, so dass ich P erhalte als Matrix mit Spaltenvektoren, die orthogonal sind. Dann müsste ich bei der Multiplikation PAP(hoch t) eine Diagonalmatrix mit den EIgenwerten auf der diagonalen erhalten.
Jedoch habe ich ein Problem, denn wenn ich das ausrechne, erhalte ich zwar ein P, jedoch trifft nicht P(hoch t)P=Einheitsmatrix ein, was ja so sein müsste, wenn P orthogonal ist. Ist vielleicht mein Ansatz falsch?
Hier mein Lösungsweg:
v1 normalisieren: v1''= 1/sqrt(2) (-1 0 1)
v2'= v2- <v2,v1''>v1'' = (-1 1 0) - 1/2 (-1 0 1) = (-1/2 1 1/2)
Normalisiere v2': v2''= 1/sqrt(3/2) (-1/2 1 1/2) = sqrt(2)/sqrt(3) (-1/2 1 1/2)
v3' = v3- <v3,v1''>v1'' - <v3, v2''> v2'' = (1 1 1) - 0 - 2/3 (-1/2 1 1/2) = (4/3 1/3 2/3)
v3' normalisieren: v3''=sqrt(9) / sqrt(21) (4/3 1/3 2/3)
-> Irgendwie kommt mit das komisch vor und es kommt auch nicht P(hoch t)P= E heraus...
Vielen Dank für Hilfe! Bin froh um jeden Tipp!
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> Man finde zu der Matrix A eine reele orthogonale Matrix P
> so, dass PAP(hoch t) Diagonalform hat.
> A= ( 1 1 1
> 1 1 1
> 1 1 1)
> Ich konnte bereits die Eigenwerte bestimmen:
> c1=0
> c2=0
> c3=3
>
> und die zugehörigen Eigenvektoren:
> v1=(-1 0 1)
> v2=(-1 1 0)
> v3=(1 1 1)
>
> Ich muss diese nun mit dem Gram Schmidt Verfahren
> Orthonormalisieren, so dass ich P erhalte als Matrix mit
> Spaltenvektoren, die orthogonal sind.
Hallo,
ja.
Jedoch solltest Du hierbei nicht übereifrig sein: Du hast eine symmetrische Matrix, und hier sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten automatisch orthogonal - wovon Du Dich auch bei Deinen Eigenvektoren überzeugen kannst.
Orthogonalisieren mußt Du also nur noch [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2.
[/mm]
[mm] v_3 [/mm] ist bloß noch zu normieren.
> [...] Ist vielleicht mein Ansatz falsch?
Nein, es ist nur ein Rechenfehler.
>
> Hier mein Lösungsweg:
> v1 normalisieren: v1''= [mm] 1\sqrt(2) [/mm] (-1 0 1)
> v2'= v2- <v2,v1''>v1'' = (-1 1 0) - 1/2 (-1 0 1) = (-1/2 1 [mm] \red{-}1/2)
[/mm]
Das eingefügte rote Minuszeichen fehlte, das dürfte der Fehler sein.
Gruß v. Angela
> Normalisiere v2': v2''= 1/sqrt(3/2) (-1/2 1 1/2) =
> sqrt(2)/sqrt(3) (-1/2 1 1/2)
> v3' = v3- <v3,v1''>v1'' - <v3, v2''> v2'' = (1 1 1) - 0 -
> 2/3 (-1/2 1 1/2) = (4/3 1/3 2/3)
> v3' normalisieren: v3''=sqrt(9) / sqrt(21) (4/3 1/3 2/3)
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> -> Irgendwie kommt mit das komisch vor und es kommt auch
> nicht P(hoch t)P= E heraus...
> Vielen Dank für Hilfe! Bin froh um jeden Tipp!
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