orthogonale Matrix < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Sa 12.01.2013 | | Autor: | ralfr |
| Aufgabe | Geben sie für
[mm] $A=\pmat{ 7 & 4&4 \\ 4&1 & -8 \\ 4&-8&1 }$
[/mm]
eine orthogonale Matrix S und die Werte [mm] $y_1,y_2,y_3$
[/mm]
an sodass gilt
[mm] $S^t*A*S=Diag\{y_1,y_2,y_3\}$ [/mm] |
Wie genau muss man da vor gehen? soll ich zunächst die Orthogonale Matrix zu A berechnen udn dann noch die inverse dieser orthogonalen berechnen?
Wie genau bekomme ich dann [mm] $y_1,y_2,y_3$ [/mm] raus?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo ralfr und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
gegen ein freundliches kleines "Hallo" und "tschüß" haben wir nichts einzuwenden, im Gegenteil: es erhöht die Antwortmotivation erfahrungsgemäß ungemein ...
> Geben sie für
> [mm]A=\pmat{ 7 & 4&4 \\
4&1 & -8 \\
4&-8&1 }[/mm]
> eine orthogonale
> Matrix S und die Werte [mm]y_1,y_2,y_3[/mm]
> an sodass gilt
> [mm]S^t*A*S=Diag\{y_1,y_2,y_3\}[/mm]
> Wie genau muss man da vor gehen? soll ich zunächst die
> Orthogonale Matrix zu A berechnen udn dann noch die inverse
> dieser orthogonalen berechnen?
> Wie genau bekomme ich dann [mm]y_1,y_2,y_3[/mm] raus?
Diagonalisiere die Matrix $A$.
Bestimme die Eigenwerte usw. - das ganze Programm!
$A$ ist symmetrisch, das sollt helfen im Hinblick auf die Aufgabenstellung ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Sa 12.01.2013 | | Autor: | ralfr |
Danke :)
ich komme dabei zu dem charakteristischen Polynom
[mm] $-y^3+9y^2+81y-729$
[/mm]
Eine Stelle habe ich herausbekommen: 9
[mm] $-y^3+9y^2+81y-729:(x-9)=-y^2+81$
[/mm]
Da kommt man dann wieder zu den Werten -9 und 9
Mit dem Eigenvektor von -9 komme ich ganz gut klar
aber bei 9 habe ich Probleme:
[mm] $\pmat{ 7-9 & 4&4 \\ 4&1-9 & -8 \\ 4&-8&1-9 } [/mm] $
[mm] $\pmat{ -2 & 4&4 \\ 4&-8 & -8 \\ 4&-8&-8 } [/mm] $
[mm] $\pmat{ 4&-8&-8 \\ 0&0&0\\ 0&0&0 } [/mm] $
Was genau kommt da für ein Eigenvektor heraus?
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Hallo nochmal,
> Danke :)
> ich komme dabei zu dem charakteristischen Polynom
> [mm]-y^3+9y^2+81y-729[/mm]
>
> Eine Stelle habe ich herausbekommen: 9
>
> [mm]-y^3+9y^2+81y-729:(x-9)=-y^2+81[/mm]
>
> Da kommt man dann wieder zu den Werten -9 und 9 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Stimmt! [mm] $\lambda_{1,2}=9$ [/mm] ist doppelter EW, [mm] $\lambda_3=-9$ [/mm] einfacher ...
>
> Mit dem Eigenvektor von -9 komme ich ganz gut klar
> aber bei 9 habe ich Probleme:
> [mm]\pmat{ 7-9 & 4&4 \\
4&1-9 & -8 \\
4&-8&1-9 }[/mm]
> [mm]\pmat{ -2 & 4&4 \\
4&-8 & -8 \\
4&-8&-8 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 4&-8&-8 \\
0&0&0\\
0&0&0 }[/mm]
>
> Was genau kommt da für ein Eigenvektor heraus?
Zeile 1 kannst du noch durch 4 teilen, dann hast du mit den beiden Nullzeilen zwei freie Parameter.
Setze [mm] $x_3=t, x_2=s$ [/mm] mit [mm] $s,t\in\IR$, [/mm] setze in Zeile 1 ein und berechne so [mm] $x_1$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Sa 12.01.2013 | | Autor: | ralfr |
Danke :)
dann habe ich den Vektor
[mm] $\vektor{2s+2t \\ s \\ t}
[/mm]
Den kann ich dann ja unterteilen in
[mm] $\vektor{2 \\ 1 \\ 0}$
[/mm]
und
[mm] $\vektor{2 \\ 0\\ 1}$ [/mm] oder?
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Hallo nochmal,
> Danke :)
> dann habe ich den Vektor
> [mm]$\vektor{2s+2t \\
s \\
t}[/mm]
>
> Den kann ich dann ja unterteilen in
> [mm]\vektor{2 \\
1 \\
0}[/mm]
> und
> [mm]\vektor{2 \\
0\\
1}[/mm] oder?
Jo, sehr chic!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Sa 12.01.2013 | | Autor: | ralfr |
Hallo,
Aus den Eigenvektoren muss ich nun noch ein Orthogonales System machen oder?
Dann wäre [mm] $c_1=\vektor{-1 \\ 2 \\ 2}$
[/mm]
[mm] $c_2=\vektor{2 \\ 1 \\ 0}$
[/mm]
[mm] $c_3=\vektor{2/5 \\ -4/5 \\ 1}$
[/mm]
Kann das jemand bestätigen?
Dann wäre S ja nun
[mm] $\pmat{-1 & 2&2/5 \\ 2&1 & -4/5 \\ 2 & 0&1 }
[/mm]
Doch wie bekomme ich [mm] $S^t$ [/mm] raus damit [mm] $S^tAS=Diag\{\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\}$ [/mm] ergibt?
Also die Eigenwerte von A als diagonale angeordnet?
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> Hallo,
> Aus den Eigenvektoren muss ich nun noch ein Orthogonales
> System machen oder?
>
> Dann wäre [mm]c_1=\vektor{-1 \\
2 \\
2}[/mm]
> [mm]c_2=\vektor{2 \\
1 \\
0}[/mm]
>
> [mm]c_3=\vektor{2/5 \\
-4/5 \\
1}[/mm]
>
> Kann das jemand bestätigen?
Hallo,
ich konnte leider den ersten Eigenvektor nirgends im Thread finden.
Falls [mm] c_1 [/mm] der erste Eigenvektor war, hast Du nun eine Orthogonalbasis aus Eigenvektoren gefunden.
Um die Matrix S zu bekommen, mußt Du nun die Vektoren noch normieren.
LG Angela
>
> Dann wäre S ja nun
> [mm]$\pmat{-1 & 2&2/5 \\
2&1 & -4/5 \\
2 & 0&1 }[/mm]
>
> Doch wie bekomme ich [mm]S^t[/mm] raus damit
> [mm]S^tAS=Diag\{\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\}[/mm] ergibt?
> Also die Eigenwerte von A als diagonale angeordnet?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 So 13.01.2013 | | Autor: | ralfr |
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> > Hallo,
> > Aus den Eigenvektoren muss ich nun noch ein
> Orthogonales
> > System machen oder?
> >
> > Dann wäre [mm]c_1=\vektor{-1 \\
2 \\
2}[/mm]
> > [mm]c_2=\vektor{2 \\
1 \\
0}[/mm]
>
> >
> > [mm]c_3=\vektor{2/5 \\
-4/5 \\
1}[/mm]
> >
> > Kann das jemand bestätigen?
>
> Hallo,
>
> ich konnte leider den ersten Eigenvektor nirgends im Thread
> finden.
> Falls [mm]c_1[/mm] der erste Eigenvektor war, hast Du nun eine
> Orthogonalbasis aus Eigenvektoren gefunden.
>
> Um die Matrix S zu bekommen, mußt Du nun die Vektoren noch
> normieren.
Da seht doch aber ich solle die orhogonale Matrix S bestimmmen. Wozu muss die orthonormiert sein?
[mm] $c_1=\frac{1}{3} \vektor{-1 \\
2 \\
2}$
[/mm]
[mm] $c_2=\frac{1}{\wurzel{5}}\vektor{2 \\
1 \\
0}$
[/mm]
[mm] $c_3=c_3=\frac{1}{\wurzel{1,8}} \vektor{2/5 \\
-4/5 \\
1}$
[/mm]
Ist das so korrekt? [mm] $S^t$ [/mm] ist dann nun die Inverse zu S oder?
> >
> > Dann wäre S ja nun
> > [mm]$\pmat{-1 & 2&2/5 \\
2&1 & -4/5 \\
2 & 0&1 }[/mm]
> >
> > Doch wie bekomme ich [mm]S^t[/mm] raus damit
> > [mm]S^tAS=Diag\{\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\}[/mm] ergibt?
> > Also die Eigenwerte von A als diagonale angeordnet?
>
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Hallo ralfr,
> >
> > > Hallo,
> > > Aus den Eigenvektoren muss ich nun noch ein
> > Orthogonales
> > > System machen oder?
> > >
> > > Dann wäre [mm]c_1=\vektor{-1 \\
2 \\
2}[/mm]
> > >
> [mm]c_2=\vektor{2 \\
1 \\
0}[/mm]
> >
> > >
> > > [mm]c_3=\vektor{2/5 \\
-4/5 \\
1}[/mm]
> > >
> > > Kann das jemand bestätigen?
> >
> > Hallo,
> >
> > ich konnte leider den ersten Eigenvektor nirgends im Thread
> > finden.
> > Falls [mm]c_1[/mm] der erste Eigenvektor war, hast Du nun eine
> > Orthogonalbasis aus Eigenvektoren gefunden.
> >
> > Um die Matrix S zu bekommen, mußt Du nun die Vektoren noch
> > normieren.
>
> Da seht doch aber ich solle die orhogonale Matrix S
> bestimmmen. Wozu muss die orthonormiert sein?
> [mm]$c_1=\frac{1}{3} \vektor{-1 \\
2 \\
2}$[/mm]
>
> [mm]$c_2=\frac{1}{\wurzel{5}}\vektor{2 \\
1 \\
0}$[/mm]
>
> [mm]$c_3=c_3=\frac{1}{\wurzel{1,8}} \vektor{2/5 \\
-4/5 \\
1}$[/mm]
>
> Ist das so korrekt? [mm]S^t[/mm] ist dann nun die Inverse zu S oder?
Ja, das ist korrekt.
[mm]S^t[/mm] ist die Inverse zu S.
> > >
> > > Dann wäre S ja nun
> > > [mm]$\pmat{-1 & 2&2/5 \\
2&1 & -4/5 \\
2 & 0&1 }[/mm]
> > >
> > > Doch wie bekomme ich [mm]S^t[/mm] raus damit
> > > [mm]S^tAS=Diag\{\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\}[/mm] ergibt?
> > > Also die Eigenwerte von A als diagonale angeordnet?
> >
>
Gruss
MathePower
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