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| Aufgabe | Gegeben sei eine Matrix
[mm] A=\pmat{2&-1&1\\-1&2&-1\\1&-1&2}
[/mm]
a) Berechnen Sie die Eigenwerte von A.
b) Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix S mit der Eigenschaft, dass [mm] D:=SAS^{-1}.
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
zu der obigen Matrix habe ich die Eigenwerte 1 und 4 sowie die Eigenräume
[mm] ER_{\lambda=4}= \ir \pmat {1\\-1\\1}
[/mm]
[mm] ER_{\lambda=1}= {a\pmat{1\\1\\0}+b\pmat{-1\\0\\1}}
[/mm]
folglich gilt:
(1) AT=TD und also [mm] T^{-1}AT=D [/mm] mit
[mm] T=\pmat{1&1&-1\\-1&1&0\\1&0&1} [/mm] und [mm] D=\pmat{4&0&0\\0&1&0\\0&0&1}
[/mm]
Folglich würde [mm] T^{-1} [/mm] das bei b) gesuchte S sein, wenn T denn eine orthogonale Matrix wäre. Ist es aber nicht. Wie mach ich hier weiter? Wenn ich die Basisvektoren der Eigenräume orthonormieren würde, würde doch die Eigenschaft (1) wieder verloren gehen, oder? Außerdem hätte man ja dann immer noch keine orthogonale Matrix, da ja Spalten und (!) Zeilen orthonormal zueinander sein müssen.
Kann mir jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Di 23.03.2010 | | Autor: | Blech |
> Gegeben sei eine Matrix
> [mm]A=\pmat{2&-1&1\\-1&2&-1\\1&-1&2}[/mm]
>
> a) Berechnen Sie die Eigenwerte von A.
> b) Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix S mit der
> Eigenschaft, dass [mm]D:=SAS^{-1}.[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> zu der obigen Matrix habe ich die Eigenwerte 1 und 4 sowie
> die Eigenräume
>
> [mm]ER_{\lambda=4}= \ir \pmat {1\\-1\\1}[/mm]
> [mm]ER_{\lambda=1}= {a\pmat{1\\1\\0}+b\pmat{-1\\0\\1}}[/mm]
>
Richtig.
> folglich gilt:
>
> (1) AT=TD und also [mm]T^{-1}AT=D[/mm] mit
>
> [mm]T=\pmat{1&1&-1\\-1&1&0\\1&0&1}[/mm] und
> [mm]D=\pmat{4&0&0\\0&1&0\\0&0&1}[/mm]
>
> Folglich würde [mm]T^{-1}[/mm] das bei b) gesuchte S sein, wenn T
> denn eine orthogonale Matrix wäre. Ist es aber nicht. Wie
> mach ich hier weiter? Wenn ich die Basisvektoren der
> Eigenräume orthonormieren würde, würde doch die
> Eigenschaft (1) wieder verloren gehen, oder? Außerdem
Jeder Vektor aus [mm] $ER_{\lambda=1}$ [/mm] ist wieder ein Eigenvektor. Wähl einfach zwei spezifische Werte für a und b und probier's aus.
Und [mm] $ER_{\lambda=1}\perp ER_{\lambda=4}$.
[/mm]
> hätte man ja dann immer noch keine orthogonale Matrix, da
> ja Spalten und (!) Zeilen orthonormal zueinander sein
> müssen.
Aus [mm] $S^t*S=E$ [/mm] folgt automatisch [mm] $S*S^t=E$, [/mm] da Rechtsinverse gleich Linksinverse.
ciao
Stefan
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> Gegeben sei eine Matrix
> [mm]A=\pmat{2&-1&1\\-1&2&-1\\1&-1&2}[/mm]
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> a) Berechnen Sie die Eigenwerte von A.
> b) Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix S mit der
> Eigenschaft, dass [mm]D:=SAS^{-1}.[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> zu der obigen Matrix habe ich die Eigenwerte 1 und 4 sowie
> die Eigenräume
>
> [mm]ER_{\lambda=4}= \ir \pmat {1\\-1\\1}[/mm]
> [mm]ER_{\lambda=1}= {a\pmat{1\\1\\0}+b\pmat{-1\\0\\1}}[/mm]
>
> folglich gilt:
>
> (1) AT=TD und also [mm]T^{-1}AT=D[/mm] mit
>
> [mm]T=\pmat{1&1&-1\\-1&1&0\\1&0&1}[/mm] und
> [mm]D=\pmat{4&0&0\\0&1&0\\0&0&1}[/mm]
>
> Folglich würde [mm]T^{-1}[/mm] das bei b) gesuchte S sein, wenn T
> denn eine orthogonale Matrix wäre. Ist es aber nicht. Wie
> mach ich hier weiter? Wenn ich die Basisvektoren der
> Eigenräume orthonormieren würde, würde doch die
> Eigenschaft (1) wieder verloren gehen, oder?
Hallo,
wie blech schon sagt, stehen ja bereits die Eigenvektoren zu 1 senkrecht zu denen zu 0, und dies sollte Dich nicht wundern.
Ebenfalls ist wie erwähnt ja jeder Vektor aus [mm] Eig_1 [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert 1.
Suche also für [mm] Eig_1 [/mm] eine "bessere" Basis,
orthogonalisiere also Deine Basis von [mm] Eig_1.
[/mm]
Dann noch alle drei vektoren normieren, und Du hast Deine orthogonale Matrix.
Gruß v. Angela
> Außerdem
> hätte man ja dann immer noch keine orthogonale Matrix, da
> ja Spalten und (!) Zeilen orthonormal zueinander sein
> müssen.
>
> Kann mir jemand weiterhelfen?
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