orthogonale Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:26 Fr 30.06.2006 | | Autor: | xsara |
| Aufgabe 1 | | a) Geben Sie alle Elemente A [mm] \in [/mm] O(2) an, unter deren Koeffizienten nur die Zahlen 0 und [mm] \pm [/mm] 1 vorkommen und zeigen Sie, dass die Menge dieser Elemente eine nichtabelsche Gruppe bildet. |
| Aufgabe 2 | | b) Zeichnen Sie für alle A [mm] \in [/mm] O(2) wie in a) das Bild des Dreiecks mit den Eckpunkten [mm] \vektor{1 \\ 0}, \vektor{3 \\ 0}, \vektor{3 \\ 1} [/mm] unter A. |
Hallo,
ich sitze gerade über dieser Aufgabe und weiß nicht weiter.
In der Teilaufgabe a) bekomme ich 14 verschiedene 2x2-Matrizen, von denen ich mir nicht sicher bin, dass sie überhaupt die Kriterien für die Orthogonalität erfüllen. Vielleicht kann das ja mal jemand nachrechnen.
[mm] A_1 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & \pm 1 \\ \pm 1 & \pm1 } [/mm] , [mm] A_2 [/mm] = [mm] \pmat{ \pm 1 & 0 \\ \pm 1 & \pm 1 } [/mm] , [mm] A_3 [/mm] = [mm] \pmat{ \pm 1 & \pm 1 \\ 0 & \pm 1 } [/mm] , [mm] A_4 [/mm] = [mm] \pmat{ \pm 1 & \pm 1 \\ \pm 1 & 0 } [/mm] , [mm] A_5 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ \pm 1 & \pm 1 } [/mm] , usw.
Ist das überhaupt richtig?
Die Definition sagt:
Eine lineare Abbildung A : V [mm] \to [/mm] W zwischen euklidischen Vektorräumen (V, [mm] (<,>)_v) [/mm] und (W,( [mm] <,>)_w) [/mm] heißt orthogonal wenn für alle [mm] v_1 [/mm] , [mm] v_2 \in [/mm] V gilt:
[mm] ()_w [/mm] = [mm] ()_v [/mm] .
Die Menge der orthogonalen Abbildungen V [mm] \to [/mm] V bezeichnet man mit O(V) oder O(V, <,>) und (O [mm] (R^n [/mm] , Standardskalarprodukt))=O(n).
Wie kann ich nun überprüfen, ob die von mir gefundenen [mm] A_1 [/mm] , [mm] A_2 [/mm] , usw. überhaupt die Orthogonalität erfüllen, wenn mir [mm] Av_1 [/mm] und [mm] Av_2 [/mm] nicht bekannt sind?
Muss ich für alle Matrizen die Eigenschaften von abelschen Gruppen
prüfen oder kann man das irgendwie abkürzen?
Zur Teilaufgabe b) habe ich leider selbst gar keine Idee.
Vielen Dank für eure Hilfe!
xsara
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:11 Fr 30.06.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen xsara!
> a) Geben Sie alle Elemente A [mm]\in[/mm] O(2) an, unter deren
> Koeffizienten nur die Zahlen 0 und [mm]\pm[/mm] 1 vorkommen und
> zeigen Sie, dass die Menge dieser Elemente eine
> nichtabelsche Gruppe bildet.
> b) Zeichnen Sie für alle A [mm]\in[/mm] O(2) wie in a) das Bild des
> Dreiecks mit den Eckpunkten [mm]\vektor{1 \\ 0}, \vektor{3 \\ 0}, \vektor{3 \\ 1}[/mm]
> unter A.
> Hallo,
>
> ich sitze gerade über dieser Aufgabe und weiß nicht
> weiter.
>
> In der Teilaufgabe a) bekomme ich 14 verschiedene
> 2x2-Matrizen, von denen ich mir nicht sicher bin, dass sie
> überhaupt die Kriterien für die Orthogonalität erfüllen.
> Vielleicht kann das ja mal jemand nachrechnen.
>
> [mm]A_1[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & \pm 1 \\ \pm 1 & \pm1 }[/mm] , [mm]A_2[/mm] = [mm]\pmat{ \pm 1 & 0 \\ \pm 1 & \pm 1 }[/mm]
> , [mm]A_3[/mm] = [mm]\pmat{ \pm 1 & \pm 1 \\ 0 & \pm 1 }[/mm] , [mm]A_4[/mm] = [mm]\pmat{ \pm 1 & \pm 1 \\ \pm 1 & 0 }[/mm]
> , [mm]A_5[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ \pm 1 & \pm 1 }[/mm] , usw.
>
> Ist das überhaupt richtig?
Nee, das ist so überhaupt noch nicht richtig. Ich vermute mal ganz stark, daß du hier in der Anschauungsebene unterwegs bist und mit dem üblichen Skalarprodukt hantierst.
Dann sind die orthogonalen Abbildungen die Drehungen und Spiegelungen. Was weißt du denn so über diese Dinger? Sind sie bijektiv? Wie sehen ihre Matrizen aus? Was ergibt die Verknüpfung von zweien?
> Die Definition sagt:
> Eine lineare Abbildung A : V [mm]\to[/mm] W zwischen euklidischen
> Vektorräumen (V, [mm](<,>)_v)[/mm] und (W,( [mm]<,>)_w)[/mm] heißt orthogonal
> wenn für alle [mm]v_1[/mm] , [mm]v_2 \in[/mm] V gilt:
> [mm]()_w[/mm] = [mm]()_v[/mm] .
Wenn du etwas abstrakter mit der Definition loslegen willst, könntest du für [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] einfach mal die kanonischen Basisvektoren nehmen und gucken, was so passiert und was das für die Matrix A bedeutet. Da sollten dann Gleichungen für die Einträge der Matrix entstehen.
> Die Menge der orthogonalen Abbildungen V [mm]\to[/mm] V bezeichnet
> man mit O(V) oder O(V, <,>) und (O [mm](R^n[/mm] ,
> Standardskalarprodukt))=O(n).
>
> Wie kann ich nun überprüfen, ob die von mir gefundenen [mm]A_1[/mm]
> , [mm]A_2[/mm] , usw. überhaupt die Orthogonalität erfüllen, wenn
> mir [mm]Av_1[/mm] und [mm]Av_2[/mm] nicht bekannt sind?
Mathematik ist zu einem großen Teil auch Herumprobieren, der elegante Beweis kommt dann hinterher.
> Muss ich für alle Matrizen die Eigenschaften von abelschen
> Gruppen
> prüfen oder kann man das irgendwie abkürzen?
Die Behauptung lautet doch: G ist nicht kommutativ! Also brauche ich (genauer: 'brauchst du') 2 Matrizen in G, die nicht kommutieren. Such sie dir.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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