ord G = 168, Elemente ord = 7? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:12 Di 18.01.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei G endliche Gruppe mit exakt 168 Elementen. Außerdem habe G keine echten Normalteiler.
Wie viele Elemente der Ordnung 7 gibt es dann? |
Hallo,
habe einige Ideen zu der Aufgabe, komme aber nicht bis zu einem Ergebnis.
Zunächst existiert nach den Sylow-Sätzen eine 7-Sylowgruppe von G, da [mm] $ord\:G =168=2^3*3*7\:$. [/mm] Bezeichnen wir diese mit H. Ist $h [mm] \in [/mm] H [mm] \Rightarrow ord\:h\:|\: ord\:H [/mm] = 7 [mm] \Rightarrow ord\:h \in \{1,7\}$
[/mm]
Sei [mm] $n_7\:$ [/mm] die Anzahl der 7-Sylowgruppen, dann gilt: [mm] $n_7 \:|\:[G:H] [/mm] = [mm] 2^3*3 [/mm] = 24$ und [mm] $n_7 \equiv [/mm] 1 [mm] \:mod\:7$
[/mm]
Wäre [mm] $n_7=1\:$, [/mm] so wäre die einzige 7-Sylowgruppe auch Normalteiler in G, das ist nach Voraussetzung ausgeschlossen. Also muss [mm] $n_7 [/mm] = 8$ aus obigen Beziehungen folgen.
Jede der 7-Sylowgruppen enthält ein Element der Ordnung 1 und sechs der Ordnung 7, denn es gibt nur ein neutrales Element und wir habe für Elemente von 7-Sylowuntergruppen gezeigt, dass deren Ordnung 1 oder 7 sein muss.
Woher weiß ich nun welche Elemente der Ordnung 7 in mehreren 7-Sylowgruppen enthalten sind? Gibt es solche überhaupt?
Ich denke es gibt sie nicht, denn die 7-Sylowgruppen werden ja von den Elementen der Ordnung 7 erzeugt, also müssen sie doch mit Ausnahme der 1 disjunkt sein oder?
Und gibt es außerhalb der 7-Sylowgruppen Elemente der Ordnung 7, die in keiner 7-Sylowgruppe enthalten sind? Ich meine nein, denn man könnte sich ja einfach die von dem Elemente erzeugte Untergruppe betrachten, die hätte wieder Ordnung 7 und wäre folglich eine 7-Sylowgruppe.
Also, hier geht bei mir noch einiges durcheinander, würde mich deshalb sehr über Rat freuen
LG Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:37 Di 18.01.2011 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
Deine Überlegungen weisen doch in die richtige Richtung. Außerdem gebe ich dir zur Vertiefung noch diesen ![[]](/images/popup.gif) Hinweis.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:38 Di 18.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo Dieter,
vielen Dank für deine Hilfe!
LG Lippel
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