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| Aufgabe | | [mm] \{X_{\alpha}:\alpha \in A\} [/mm] sei eine Menge topologischer Räume. Die Produkt-Topologie auf [mm] \produkt_{\alpha \in A}X_{\alpha} [/mm] ist die gröbste Topologie, s.d. die Projektion [mm] p_{\beta}:\produkt_{\alpha \in A}X_{\alpha} \to X_{\beta} [/mm] für jedes [mm] \beta \in [/mm] A stetig ist. Zu Zeigen ist, dass ein Produkt [mm] U=\produkt_{\alpha \in A}U_{\alpha} [/mm] eine offene Teilmenge von [mm] \produkt_{\alpha \in A}X_{\alpha} [/mm] ist, falls jedes [mm] U_{\alpha} [/mm] eine offene Teilmenge von [mm] X_{\alpha} [/mm] ist und [mm] X_{\alpha}=U_{\alpha} [/mm] für alle [mm] \alpha [/mm] außerhalb einer endlichen Teilmenge von A. |
Hallo,
kann mir jemand helfen das zu beweisen? Ich bekomme es nicht hin.
Mir ist nicht klar, was der Teil der zu zeigenden Behauptung [mm] X_{\alpha}=U_{\alpha} [/mm] für alle [mm] \alpha [/mm] außerhalb einer endlichen Teilmenge von A ausmacht. Warum muss das gelten?
An sonsten weiss ich, dass die Projektion für jedes [mm] \beta \in [/mm] A stetig ist, dh Urbilder offener Mengen sind offen, dh. [mm] \beta \in [/mm] A, T [mm] \subseteq X_{\beta} [/mm] offen, [mm] p_{\beta}^{-1}(T)=T\times \produkt_{\alpha \in A\backslash \{\beta \}}X_{\alpha} [/mm] ist offen. Wir haben gesagt, dass die offenen mengen in der Produkttopologie, also A,B topologsiche Räume, [mm] I\subseteq A\times [/mm] B offen genau dann wenn [mm] I=\bigcup_{n\in N}(V_i\times W_i) [/mm] mit [mm] V_i [/mm] offen in A und [mm] W_i [/mm] offen in B. Das muss man ja jetzt hier zeigen für U Teilmenge [mm] \produkt_{\alpha \in A}X_{\alpha}, [/mm] oder? Wieso hat man das nicht schon direkt da gegeben und muss das noch zeigen?
Würde mich über Hilfe freuen, Grüße
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Hallo,
> [mm]\{X_{\alpha}:\alpha \in A\}[/mm] sei eine Menge topologischer
> Räume. Die Produkt-Topologie auf [mm]\produkt_{\alpha \in A}X_{\alpha}[/mm]
> ist die gröbste Topologie, s.d. die Projektion
> [mm]p_{\beta}:\produkt_{\alpha \in A}X_{\alpha} \to X_{\beta}[/mm]
> für jedes [mm]\beta \in[/mm] A stetig ist. Zu Zeigen ist, dass ein
> Produkt [mm]U=\produkt_{\alpha \in A}U_{\alpha}[/mm] eine offene
> Teilmenge von [mm]\produkt_{\alpha \in A}X_{\alpha}[/mm] ist, falls
> jedes [mm]U_{\alpha}[/mm] eine offene Teilmenge von [mm]X_{\alpha}[/mm] ist
> und [mm]X_{\alpha}=U_{\alpha}[/mm] für alle [mm]\alpha[/mm] außerhalb einer
> endlichen Teilmenge von A.
> Mir ist nicht klar, was der Teil der zu zeigenden
> Behauptung [mm]X_{\alpha}=U_{\alpha}[/mm] für alle [mm]\alpha[/mm]
> außerhalb einer endlichen Teilmenge von A ausmacht. Warum
> muss das gelten?
Weil nur der ENDLICHE Schnitt von offenen Mengen wieder offen ist.
(siehe unten)
> An sonsten weiss ich, dass die Projektion für jedes
> [mm]\beta \in[/mm] A stetig ist, dh Urbilder offener Mengen sind
> offen, dh. [mm]\beta \in[/mm] A, T [mm]\subseteq X_{\beta}[/mm] offen,
> [mm]p_{\beta}^{-1}(T)=T\times \produkt_{\alpha \in A\backslash \{\beta \}}X_{\alpha}[/mm]
> ist offen.
Das ist richtig.
> Wir haben gesagt, dass die offenen mengen in der
> Produkttopologie, also A,B topologsiche Räume, [mm]I\subseteq A\times[/mm]
> B offen genau dann wenn [mm]I=\bigcup_{n\in N}(V_i\times W_i)[/mm]
> mit [mm]V_i[/mm] offen in A und [mm]W_i[/mm] offen in B.
Das ist richtig. Beachte aber, dass in diesem Beispiel nur von ZWEI Räumen die Produkttopologie gebildet wird (also insbesondere von einer ENDLICHEN Anzahl).
In deiner Aufgabe geht es aber um die Produkttopologie von (im Allgemeinen) UNENDLICH vielen Räumen.
> Das muss man ja
> jetzt hier zeigen für U Teilmenge [mm]\produkt_{\alpha \in A}X_{\alpha},[/mm]
> oder? Wieso hat man das nicht schon direkt da gegeben und
> muss das noch zeigen?
Nein, man hat es noch nicht gegeben. Der Beweis läuft aber fast genauso wie der aus eurem Beispiel.
Sei $U = [mm] \prod_{\alpha \in A}U_{\alpha}$ [/mm] mit [mm] $U_\alpha \subset X_{\alpha}$ [/mm] offen, wobei nur für endlich viele [mm] $\alpha_1,...,\alpha_n$ [/mm] gelte: [mm] $U_{\alpha_i} \not= U_{\alpha_n}$. [/mm]
Entsprechend gilt also für [mm] $\alpha \in [/mm] A [mm] \backslash \{\alpha_1,...,\alpha_n\}$: $U_{\alpha} [/mm] = [mm] X_{\alpha}$.
[/mm]
Damit ist
$U = [mm] \prod_{\alpha \in A}U_{\alpha} [/mm] = [mm] \prod_{i = 1}^{n}U_{\alpha_i} \times \prod_{\alpha \in A \backslash \{\alpha_1,...,\alpha_n\}}X_{\alpha}.$
[/mm]
Die Idee ist, $U$ als Schnitt von offenen Mengen darzustellen. Da [mm] $U_{\alpha_i}$ [/mm] offen ist, ist
[mm] $p_{\alpha_i}^{-1}(U_{\alpha_i}) [/mm] = [mm] U_{\alpha_i} \times \prod_{\alpha \in A \backslash \{\alpha_i\}} X_{\alpha}$
[/mm]
offen. Damit ist auch
$U = [mm] \bigcap_{i=1}^{n}p_{\alpha_i}^{-1}(U_{\alpha_i})$
[/mm]
als endlicher Schnitt von offenen Mengen offen.
Viele Grüße,
Stefan
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