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Kann mir jemand den Begriff der offenen Überdeckung erklären? Ich kann damit noch nicht wirklich etwas anfangen. Da unser Prof damit jedoch unter anderem Kompaktheit einer Menge definiert hat, wäre es schon schön, wenn ich das kapieren würd.
LG fagottator
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Hallo fagottator,
> Kann mir jemand den Begriff der offenen Überdeckung
> erklären? Ich kann damit noch nicht wirklich etwas
> anfangen. Da unser Prof damit jedoch unter anderem
> Kompaktheit einer Menge definiert hat, wäre es schon
> schön, wenn ich das kapieren würd.
Nun, zuerstmal sagt man zwar "offene Überdeckung", die Überdeckung selbst ist aber nicht offen, sondern die Mengen, die die Überdeckung bilden.
Eine System von Mengen [mm] $\{U_i\}_{i\in I}$ [/mm] (I eine Indexmenge) heißt Überdeckung einer Menge $M$, falls ihre Vereinigung $M$ enthält, falls also [mm] $\bigcup\limits_{i\in I} U_i [/mm] \ [mm] \supset [/mm] \ M$
Die Überdeckung heißt offen, falls die [mm] $U_i$ [/mm] offene Mengen sind.
Damit kann man "kompakt" definieren.
Eine Menge $M$ heißt kompakt, falls jede (!!) offene Überdeckung von $M$ eine endliche Teilüberdeckung hat.
$M$ ist also kompakt, wenn du aus jeder beliebigen offenen Überdeckung [mm] $\{U_i\}$ [/mm] von $M$ eine endliche Überdeckung [mm] $\{U_{i_k}\}=\{U_{i_1},U_{i_2},...,U_{i_k}\}$ [/mm] auswählen kannst: also [mm] $\bigcup\limits_{n=1}^{k}U_{i_n} [/mm] \ [mm] \supset [/mm] \ M$
Wichtig ist das unterstrichene "jede" !!
Ein triviales Bsp. für eine Überdeckung:
Nimm mal als Menge [mm] $M\subset\IR^2$ [/mm] das Quadrat mit Mittelpunkt $(0,0)$ und den Ecken $(1,1), (-1,1), (-1,-1), (1,-1)$
Das wird sicher trivialerweise von [mm] $\overline{B}_2(0)$, [/mm] also der abgeschlossenen Kugel (Kreisscheibe) um 0 mit Radius 2, überdeckt. Das wäre ein überdeckendes System aus nur einer Menge.
Ebenso tut es die offene Kugel (Kreisscheibe) [mm] $B_2(0)$. [/mm] Das wäre eine offene Überdeckung von $M$
>
> LG fagottator
Gruß
schachuzipus
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