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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Reaper |
| Aufgabe | | Geben Sie eine offene Überdeckung des Intervalls (2,4] an, die keine endliche Teilüberdeckung besitzt. |
Defnition im Skript:
"Eine Familie offener Mengen [mm] {O_{i} \subseteq X : i \in I} [/mm] heißt offene Überdeckung von A: [mm] \gdw [/mm] A [mm] \subseteq \bigcup_{i\inI}^{}O_{i}
[/mm]
Eine endliche Teilüberdeckung einer offenen Überdeckung [mm] {O_{i} \subseteq X: i \in I} [/mm] von A ist eine Familie [mm] {O_{i} \subseteq X: i \in I'} [/mm] mit
[mm] I'\subseteq [/mm] I endlich und A [mm] \subseteq \bigcup_{i\inI'}^{}O_{i}"
[/mm]
Was heißt Familie?
Das hat doch sicher was mit der Indexmenge zu tun oder?
Heißt das eine beliebige Indexmenge?
konkretes Bsp.:
als offene Überdeckung haben wir [mm] O_{n} [/mm] := (2+1/n,5) gewählt.
Nun bildeten wir laut Definition die Familie von den O's.
also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bigcup_{n\in \IN}^{}O_{n} [/mm]
= (2,5)
Also heißt Familie dass ich die Vereinigung gegen unendlich gehen lasse oder wie?
Warum es jetzt keine endliche Teilüberdeckung gibt kapier ich auch nicht so ganz. Ich hab mir aufgschrieben da 2 nie erreicht wird....aber daraus werd ich auch nicht so recht schlau....und warum ist dann die Menge nicht kompakt?
mfg,
Hannes
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Familie ist so etwas Ähnliches wie Folge, nur daß man den Begriff Folge in aller Regel auf abzählbare Indexmengen beschränkt, während man bei Familie auch nichtabzählbare Indexmengen zuläßt.
Die Schreibweise [mm]\lim_{n \to \infty} \bigcup_{n \in \mathbb{N}}~\ldots[/mm] verstehe ich nicht. Müßte das nicht einfach [mm]\bigcup_{n \in \mathbb{N}}~\ldots[/mm] heißen?
Um zu verstehen, warum das Intervall [mm](2,5)[/mm] nicht kompakt ist, mußt du dir die Kompaktheitsdefinition einfach noch einmal zu Gemüte führen. Die beschäftigt sich nämlich mit offenen Überdeckungen und daraus resultierenden (oder nicht resultierenden) endlichen Teilüberdeckungen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Reaper |
Hallo...ja hast schon recht mit meiner falschen Schreibweise. Aber was ich damit ausdrücken will ist dass n gegen unendlich strebt also ähnlich wie bei Grenzwerte von Folgen. Ist das immer so bei Familien?
Das mit den Indexmengen is jetzt schon klar....aber was bringen mir die nicht abzählbaren Indexmengen (das will ja [mm] \bigcup_{i\inI}^{} [/mm] ausdrücken oder?
OK....warum (2,5) nicht kompakt ist weiß ich mittlerweile auch weils halt nicht abgeschlossen ist oder?
Bei der Defnition von Kompaktheit steht aber bei uns nix über Teilüberdeckungen. Es steht da dass die Menge beschränkt und abgeschlossen sein muss dann is sie kompakt...
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Reaper!
> Hallo...ja hast schon recht mit meiner falschen
> Schreibweise. Aber was ich damit ausdrücken will ist dass n
> gegen unendlich strebt also ähnlich wie bei Grenzwerte von
> Folgen.
Aber schreibe es bitte nicht so. Man kann zwar auch den Limes von Mengen bilden, aber das müsste man dann völlig anders schreiben. Bilde einfach, wie Leopold schrieb, die Vereinigung über alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] da steckt dann ein Grenzwertprozess mit drin.
> Ist das immer so bei Familien?
Die Frage verstehe ich nicht.
> Das mit den Indexmengen is jetzt schon klar....aber was
> bringen mir die nicht abzählbaren Indexmengen (das will ja
> [mm]\bigcup_{i\inI}^{}[/mm] ausdrücken oder?
Nein, das hat nichts mit abzählbar oder so zu tun. Es ist halt einfach die Vereinigung über alle $i [mm] \in [/mm] I$, und die kann ich für jede Indexmenge bilden. Ich weiß leider nicht, worauf du hinauswillst...
> OK....warum (2,5) nicht kompakt ist weiß ich mittlerweile
> auch weils halt nicht abgeschlossen ist oder?
Ja, so kann man es auch begründen. Es sah auf Grund deines Postings so aus, als solltet ihr es über die Überdeckungseigenschaft zeigen...
> Bei der Defnition von Kompaktheit steht aber bei uns nix
> über Teilüberdeckungen. Es steht da dass die Menge
> beschränkt und abgeschlossen sein muss dann is sie
> kompakt...
Dies sind im [mm] $\IR^n$ [/mm] ((!), ansonsten i.A. nicht) äquivalente Charakterisierungen. "Kompakt" definiert man in allgemeinen topologischen Räumen immer über die Überdeckungseigenschaft, aber im [mm] $\IR^n$ [/mm] kann man zeigen, dass diese äquivalent zu "beschränkt und abgeschlossen" ist, insofern hast du Recht.
Liebe Grüße
Stefan
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