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offene Überdeckung: Erklärung zu einer Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 Di 01.04.2014
Autor: HappyHaribo

Aufgabe
Zeige dass: [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n+2},\frac{1}{n}\right) [/mm] eine offene Überdeckung vom Intervall $(0,1)$ ist.

Ok also ich habe folgende Lösung:
Z.z. ist, dass für alle $x [mm] \in [/mm] (0,1)$ ein $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] mit $x [mm] \in U_n$ [/mm] existiert. Solch ein $n$ existiert aber mit [mm] $\frac{1}{n+2} [/mm] < x$. Wir verwenden nun das kleinste solche $n$, also $x < [mm] \frac{1}{n+1}$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $$\frac{1}{n+2} Hieraus folgt nun, dass [mm] $\bigcup U_n$ [/mm] eine Überdeckung von $(0,1)$ ist.

Ok wie kommen die hier auf das kleinste solche $n$, also das [mm] $x\le\frac{1}{n+1}$? [/mm]

Danke schon mal für eure Hilfe.

        
Bezug
offene Überdeckung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:38 Di 01.04.2014
Autor: tobit09

Hallo HappyHaribo!


> Zeige dass:
> [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n+2},\frac{1}{n}\right)[/mm]
> eine offene Überdeckung vom Intervall [mm](0,1)[/mm] ist.


>  Ok also ich habe folgende Lösung:
>  Z.z. ist, dass für alle [mm]x \in (0,1)[/mm] ein [mm]n \in \mathbb{N}[/mm]
> mit [mm]x \in U_n[/mm] existiert. Solch ein [mm]n[/mm] existiert aber mit
> [mm]\frac{1}{n+2} < x[/mm]. Wir verwenden nun das kleinste solche [mm]n[/mm],
> also [mm]x < \frac{1}{n+1}[/mm]. Dann gilt:
>  [mm]$$\frac{1}{n+2}
>  
> Hieraus folgt nun, dass [mm]\bigcup U_n[/mm] eine Überdeckung von
> [mm](0,1)[/mm] ist.

Diese Lösung ist nicht ganz korrekt. Anscheinend soll [mm] $0\notin\IN$ [/mm] gelten. Dann muss nicht $x < [mm] \frac{1}{n+1}$ [/mm] für das gewählte $n$ gelten (und zwar im Falle $n=1$ nicht notwendigerweise).


> Ok wie kommen die hier auf das kleinste solche [mm]n[/mm], also das
> [mm]x\le\frac{1}{n+1}[/mm]?

Ich schlage vor, anstatt den nicht ganz korrekten Versuch zu reparieren, neu zu starten.

Sei [mm] $x\in(0,1)$. [/mm] Wir suchen ein [mm] $n\in\IN\setminus\{0\}$ [/mm] mit [mm] $x\in(\frac{1}{n+2},\frac{1}{n})$. [/mm]

Für jedes [mm] $n\in\IN\setminus\{0\}$ [/mm] gelten die Äquivalenzen (beachte $x>0$, $n>0$ und $n+2>0$):

      [mm] $x\in(\frac{1}{n+2},\frac{1}{n})$ [/mm]
   [mm] $\iff$ $\frac{1}{n+2}    [mm] $\iff$ $\frac{1}{x}    [mm] $\iff$ $n<\frac{1}{x}
Wir suchen also nun ein [mm] $n\in\IN\setminus\{0\}$ [/mm] mit [mm] $n<\frac{1}{x}
Beachte: Wegen [mm] $x\in(0,1)$ [/mm] gilt [mm] $\frac{1}{x}>1$. [/mm]

Somit gibt es ein [mm] $n\in\IN\setminus\{0\}$ [/mm] mit [mm] $n<\frac{1}{x}$. [/mm] Wir wählen das größte solche $n$.

Für dieses $n$ gilt [mm] $n+1\ge\frac{1}{x}$, [/mm] also insgesamt

     [mm] $n<\frac{1}{x}\le [/mm] n+1<n+2$

wie gewünscht.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
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