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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Phecda |
hi ich hätte eine frage:
eine teilmenge eines metr. raumes ist doch offen, wenn jeder punkt ein innerer punkt ist. Sei [mm] \IR [/mm] der metrische Raum.
Ich versteh nun nicht warum [mm] \IN [/mm] und [mm] \IZ [/mm] sowie [mm] \IQ [/mm] nicht offen sind. zu jeder dieser zahl kann ich doch eine umgebung finden, die ihr nachbarelement beinhaltet.
iwie habe ich das konzept der offenheit wieder vergessen.
mfg
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Mo 04.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass du ne Umgebung finden kannst in der ein nachbarelement liegt heisst doch nicht dass die menge offen ist. du musst eine Umgebung finden, in der Alle Elemente aus der menge sind. und in jeder Umgebung einer rationalen Zahl liegen auch nicht rationale Zahlen, wenn du [mm] \IQ [/mm] als Teilmenge von [mm] \IR [/mm] betrachtest!
Damit ist die mene der rat. Zahlen offen in [mm] \IQ [/mm] aber nicht offen in [mm] \IR. [/mm] entsprechend die natürlichen Zahlen.
Vielleicht hast du ne falsche definition von offen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Phecda |
hi
okay meine defintion ist E heißt offen, wenn jeder punkt von E ein innerer punkt von E ist.
und ein innerer punkt von E ist ein punkt, wenn es eine umgebung U von p gibt, so das U [mm] \subset [/mm] E gilt.
das ist die def. was wären denn beispiele für offene mengen.
ist dann eine teilmenge von R mit endlich vielen elementen, immer nicht offen z.b?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Mo 04.02.2008 | | Autor: | abakus |
Das Gegenteil von "innerer Punkt" ist "Randpunkt".
Die Teilmenge der reellen Zahlen, die der Ungleichung 0<x [mm] \le [/mm] 1 genügt, ist nicht offen, denn sie enthält einen Randpunkt (x=1).
Das Intervall 0<x<1 hingegen ist offen, weil es keine Randpunkte enthält.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Phecda |
ok das versteh ich acuh und wie ist das mit
ist dann eine teilmenge von R mit endlich vielen elementen, immer nicht offen z.b?
bsp.. E = {0,2,4,0.6,0.2}
dann ist bsp. zwischen 0.2 und 0.6 ein element von R wie 0.4 -was nicht in der menge Eenthalten ist: ist E offen? ne gell
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Mo 04.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Phecda
Du hast recht. Jede endliche Teilmenge von R ist nicht offen.
2. Deine definition im post davor ist zu ungenau. due sprichst von E und [mm] U\substE [/mm] ohne von dem metrischen Raum der zu Grunde liegt zu reden.
wenn dein E Teilmenge von R ist, dann müssen alle Punkte in U die in R liegen auch in E liegen.
anders ausgedrückt: [mm] U_{\varepsilon} [/mm] von x gegeben durch die Menge aller Punkte mit [mm] d(x,y)<\varepsilon y\in \IR.
[/mm]
deshalb ist die Menge [mm] x^2+y^2\ler^2 [/mm] im [mm] R^2 [/mm] nicht offen, weil es zwar in jeder Umgebung eines Punktes mit [mm] x^2+y^2=r^2 [/mm] Punkte der Menge gibt, aber eben auch Punkte mit [mm] x^2+y^2>r^2. [/mm] also ist der punkt (r,0) etwa kein innerer Punkt.
genauso gibt es in jeder Umgebung von 2/3 zwar unendlich viele rationale zahlen, aber eben auch nicht rationale Zahlen, also ist 2/3 kein innerer punkt [mm] von\Q [/mm] als Teilmenge von R wohl aber ein innerer Punkt in [mm] \IQ.
[/mm]
Gruss leduart
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