offene/abgeschlossene Mengen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 So 01.05.2005 | | Autor: | Shaguar |
[EDIT]
Bin irgendwie im falschen Analysis-Thread gelandet ?!?!
[EDIT]
Moin,
mhh ich glaube die Frage ist relativ einfach oder ich sehe sie zu einfach mal gucken was ihr dazu meint.
Sei (X,d) ein metrischer Raum, [m]f: X\to\IR[/m] stetig und c [mm] \in \IR [/mm] Welche der Mengen sind offen/abgeschlossen?
a) [m]\{ x \in X | f(x) < c \}[/m]
b) [m]\{ x \in X | f(x) \le c \}[/m]
c) [m]\{ x \in X | f(x) = c \}[/m]
Ich weiß, dass bei stetigen Abbildungen die Urbilder von abgeschlossenen/offenen Mengen wieder abgeschlossen/offen sind.
Also müsste man doch [m] c=\varepsilon[/m] setzen können und dann mit den Definitionen von offen und geschlossen argumentieren können.
[mm] \Rightarrow
[/mm]
a) offen, da f(x)<c und man also die [mm] \varepsilon-Kugeln [/mm] dementsprechend um 0 legen kann
b) geschlossen, da f(x) [mm] \le [/mm] c ...
c) geschlossen, entspricht der Sphäre um den Punkt 0
Ich hab die Begründungen hier nur angedeutet...
Vielen Dank
Shaguar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 So 01.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
erinnere ich mich jetzt falsch oder gilt deine Aussage nur für offene Mengen?
Das urbild einer abgeschlossenen Menge muss doch nicht abgeschlossen sein, Beispiel : f(x)=0 für alle x aus X, wobei X halt offen ist (z.B X=IR)
also fallls das nicht Unsinn ist, musst du nochmal überlegen.
viele grüße
DaMenge
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Also zunächst würde ich sogar so frei sein, c=0 zu setzen, alles andere stört ja nur.
a) ist sicherlich richtig, genau deine Begründung
b und c) sind so völlig falsch. Du hast ja schon ein Gegenbeispiel bekommen, dass Urbilder geschlossener Mengen nicht zwingend geschlossen sein müssen. Aber vielleicht denkst du einmal an das Komplement des Bildes und schaust dir dazu einmal das Urbild an?
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