offene Mengen\ Metriken < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Do 29.07.2010 | | Autor: | vierg |
| Aufgabe | Sei (X,d) ein metrischer Raum. Man zeige, dass die Abbildung
m:X x X->R, m(x,y):=min(d(x,y),1),
eine Metrik auf X ist und dass die Metriken d und m die selben offenen Mengen auf X definieren. |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich habe hier eine Aufgabe aus dem Forster Ana 2.
Das m eine Metrik ist hab ich schon gezeigt.
Aber bei dem zweiten Teil der Aufgabe komme ich nicht so ganz weiter.
Ich nehme mir also eine offene Menge U bzgl. m her. Dann ex. ja ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] s.d. [mm] B\varepsilon(a) [/mm] Teilmenge dieser offenen Menge ist, für alle [mm] a\in [/mm] U. Nun muss ich doch aber eine Fallunterscheidung machen, oder?
Wenn [mm] \varepsilon< [/mm] 1 ist, dann ist die Umgebung [mm] B'\delta(a) [/mm] bzgl. d mit [mm] \delta=\varepsilon [/mm] auch Teilmenge von U. Aber wenn [mm] \varepsilon>=1 [/mm] ist, dann ist [mm] B\varepsilon(a) [/mm] bzgl. m ja der ganze Raum, oder? Kann ich dann [mm] \delta [/mm] einfach unendlich setzen oder wie?
mfg
vierg
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Huhu,
nicht so kompliziert denken 
Existiert ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 1$, so dass [mm] $B_\varepsilon(a)$ [/mm] komplett in U liegt, so gilt es doch insbesondere auch für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] < 1$
Und da dir die Existenz eines [mm] \varepsilon [/mm] ausreicht, nimmst du dir einfach nur eins kleiner 1.
D.h. du kannst einfach argumentieren: Sei U offen, dann existiert oBdA [mm] $\varepsilon [/mm] < 1$..... etc
MFG,
Gono.
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