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| Aufgabe | (a) Gegeben sei die Menge G := {0} [mm] \cup [/mm] { [mm] \bruch{1}{n}: [/mm] n [mm] \in [/mm] IN}
Untersuchen Sie, ob diese Menge
offen beziehungsweise abgeschlossen ist.
(b) Gegeben sei die Menge der ganzen Zahlen [mm] \IZ [/mm] als Teilmenge der reellen Zahlen [mm] \IR. [/mm] Zeigen
Sie, dass jede Teilmenge [mm] T\subseteq \IZ [/mm] in [mm] \IZ [/mm] relativ offen ist.
(c) Gegeben sei die Menge G wie in (a) als Teilmenge der reelen Zahlen [mm] \IR. [/mm] Konstruieren
Sie eine Teilmenge T [mm] \subseteq [/mm] G , die nicht in G relativ offen ist. |
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Hallo,
ich habe so meine Probleme mit dieser Aufgabe und weiß nicht wie ich beginnen soll.
Wäre nett, wenn mir jemand nen Denkanstoß geben könnte... Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Sa 19.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wäre nett, wenn mir jemand nen Denkanstoß geben könnte...
Mal versuchen... :)
> (a) Gegeben sei die Menge G := {0} [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\bruch{1}{n}:[/mm] n
> [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
IN}
> Untersuchen Sie, ob diese Menge
> offen beziehungsweise abgeschlossen ist.
Damit es abgeschlossen ist reicht es ja zu zeigen, dass der Grenzwert einer jeden konvergenten Folge, deren Folgenglieder in $G$ liegen, auch wieder in $G$ liegt. Wenn $(a_n)_{n\in\IN}$ jetzt eine konvergente Folge ist mit $a_n \in G$, $n \in \IN$, wie sieht das aus wenn $a_n, n \in \IN$ nur endlich viele verschiedene Werte annimmt? Oder wenn es unendlich viele verschiedene Werte annimmt?
(Man kann damit sogar zeigen, dass jede beliebige (evtl. nicht konvergente) solche Folge eine konvergente Teilfolge hat, die Menge $G$ also kompakt ist.)
> (b) Gegeben sei die Menge der ganzen Zahlen [mm]\IZ[/mm] als
> Teilmenge der reellen Zahlen [mm]\IR.[/mm] Zeigen
> Sie, dass jede Teilmenge [mm]T\subseteq \IZ[/mm] in [mm]\IZ[/mm] relativ
> offen ist.
Was bedeutet relativ offen denn? Ueberleg dir das mal. Wenn du keine Idee hast wie dir das weiterhilft, schreib die Definition doch mal hier hin.
> (c) Gegeben sei die Menge G wie in (a) als Teilmenge der
> reelen Zahlen [mm]\IR.[/mm] Konstruieren
> Sie eine Teilmenge T [mm]\subseteq[/mm] G , die nicht in G relativ
> offen ist.
Wenn du (b) gemacht hast, bekommst du hier vielleicht eine Idee. Zeichne $G$ doch mal auf und denk nach was relativ offen fuer eine Teilmenge heissen wuerde...
LG Felix
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