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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:33 Do 29.12.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Zeige:
Jede offene Menge eines topologischen Raums [mm] $(X,\sigma)$ [/mm] ist eine obere Menge (siehe unten) bezüglich der Prä-Ordnung "Spezialisierung" (siehe unten).
Die Umkehrung gilt genau dann, wenn [mm] $(X,\sigma)$ [/mm] die folgende Eigenschaft hat: Jeder Durchschnitt beliebig vieler [mm] $\sigma$ [/mm] - offener Mengen ist wieder [mm] $\sigma$ [/mm] - offen. |
Hallo! Also zunächst die beiden Begriffserklärungen zu den Begriffen, die in der Aufgabe vorkommen:
1.) obere Menge:
Sei [mm] $(P,\leq)$ [/mm] eine prä-geordnete Menge. Eine Teilmenge [mm] $M\subseteq [/mm] P$ heißt obere Menge genau dann, wenn für alle [mm] $x\in [/mm] M$ und [mm] $y\in [/mm] P$ gilt: Ist [mm] $x\leq [/mm] y$, so folgt [mm] $y\in [/mm] M$.
2.) Präordnung "Spezialisierung":
Sei [mm] $(X,\sigma)$ [/mm] topologischer Raum. Für Punkte [mm] $p,q\in [/mm] X$ setzt man
[mm] $p\leq [/mm] q$ genau dann, wenn [mm] $p\in\overline{\left\{q\right\}}$
[/mm]
Die zweistellige Relation ist reflexiv und transitiv, genannt Spezialisierung
-----------------------
Die Hin-Richtung meine ich zu haben (s. angehängte Mitteilung).
Wie kann man aber die Rück-Richtung zeigen?
Sei [mm] $A\subseteq [/mm] X$ obere Menge bezüglich der Präordnung "Spezialisierung....
Wie macht man weiter?
Ich würde mich riesig über Hilfe freuen, denn ich komme schon den ganzen Tag mit der Rückrichtung nicht klar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Do 29.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Hier ist meine Beweisidee für die Hin-Richtung:
Sei [mm] $M\subseteq [/mm] X, [mm] M\subseteq\sigma$.
[/mm]
Seien [mm] $x\in [/mm] M, [mm] y\in [/mm] X$ beliebig und gelte [mm] $x\leq [/mm] y$, d.h. [mm] $x\in\overline{\left\{y\right\}}$.
[/mm]
Zeige, daß [mm] $y\in [/mm] M$.
Angenommen, daß [mm] $y\notin [/mm] M$, d.h. [mm] $y\in (X\setminus [/mm] M)=:T$.
T ist abgeschlossene Menge, da [mm] $M\subseteq\sigma$ [/mm] n.V.
Daraus folgt, da der Abschluss ja der Schnitt aller abgeschlossenen Mengen ist, die $y$ enthalten:
[mm] $T\subseteq\overline{\left\{y\right\}}=\bigcap_{y\in Q}Q$, [/mm] $Q$ abgeschlossene Mengen
Daraus folgt, da [mm] $x\in\overline{\left\{y\right\}}$:
[/mm]
[mm] $x\in T=X\setminus [/mm] M$
WIDERSPRUCH, da [mm] $x\in [/mm] M$.
------
Ist das so in Ordnung?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 Fr 30.12.2011 | | Autor: | SEcki |
> Ist das so in Ordnung?
Ja.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 Fr 30.12.2011 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo mikexx!
> Hier ist meine Beweisidee für die Hin-Richtung:
>
> Sei [mm]M\subseteq X, M\subseteq\sigma[/mm].
$M [mm] \in \sigma$
[/mm]
> Seien [mm]x\in M, y\in X[/mm]
> beliebig und gelte [mm]x\leq y[/mm], d.h.
> [mm]x\in\overline{\left\{y\right\}}[/mm].
>
> Zeige, daß [mm]y\in M[/mm].
>
> Angenommen, daß [mm]y\notin M[/mm], d.h. [mm]y\in (X\setminus M)=:T[/mm].
>
> T ist abgeschlossene Menge, da [mm]M\subseteq\sigma[/mm] n.V.
$M [mm] \in \sigma$
[/mm]
>
> Daraus folgt, da der Abschluss ja der Schnitt aller
> abgeschlossenen Mengen ist, die [mm]y[/mm] enthalten:
>
> [mm]T\subseteq\overline{\left\{y\right\}}=\bigcap_{y\in Q}Q[/mm], [mm]Q[/mm]
Nicht [mm] '$\subseteq$' [/mm] sondern [mm] '$\supseteq$'
[/mm]
> abgeschlossene Mengen
>
> Daraus folgt, da [mm]x\in\overline{\left\{y\right\}}[/mm]:
>
> [mm]x\in T=X\setminus M[/mm]
>
> WIDERSPRUCH, da [mm]x\in M[/mm].
>
>
>
> ------
>
> Ist das so in Ordnung?
Ja, bis auf die Schreibfehler.
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Fr 30.12.2011 | | Autor: | mikexx |
> > [mm]T\subseteq\overline{\left\{y\right\}}=\bigcap_{y\in Q}Q[/mm], [mm]Q[/mm]
>
> Nicht '[mm]\subseteq[/mm]' sondern '[mm]\supseteq[/mm]'
Wieso [mm] $\supseteq$?
[/mm]
Hab ich leider noch nicht verstanden, könntest Du es vielleicht bitte erklären für mich?
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Hallo mikexx!
> > > [mm]T\subseteq\overline{\left\{y\right\}}=\bigcap_{y\in Q}Q[/mm], [mm]Q[/mm]
> >
> > Nicht '[mm]\subseteq[/mm]' sondern '[mm]\supseteq[/mm]'
>
>
> Wieso [mm]\supseteq[/mm]?
>
> Hab ich leider noch nicht verstanden, könntest Du es
> vielleicht bitte erklären für mich?
Seien $A,B$ Mengen:
Gilt [mm] $A\cap [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A$ oder [mm] $A\cap [/mm] B [mm] \supseteq [/mm] A$?
> Daraus folgt, da $ [mm] x\in\overline{\left\{y\right\}} [/mm] $:
>
> $ [mm] x\in T=X\setminus [/mm] M $
Wieso könntest du das sonst behaupten?
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Fr 30.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Danke, jetzt hab ich's kapiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 Do 29.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Da bisher keine Reaktion kam trotz relativ vieler Leser, bin ich etwas hilflos...
Was genau muss ich denn eigentlich bei der Rückrichtung voraussetzen und was muss ich zeigen?
Ich komme damit so gar nicht zurecht und bin langsam am verzweifeln.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:22 Fr 30.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Mir ist noch eine Idee eingefallen.
Also sei $A\subseteq X$ eine obere Menge bezüglich der Prä-Ordung "Spezialisierung". Das bedeutet: Für alle $x\in X$ und alle $x\in A$ gilt: Aus $a\leq x$ (was hier bedeutet: $a\in\overline{\left\{x\right\}}$) folgt $x\in A$.
Wenn ich jetzt x und a hernehme, so ist die Relation doch antisymmetrisch: Es gibt eine offene Menge $V$ mit $x\in V, a\notin V$, nämlich doch $X\setminus \overline{\left\{a\right\}$
Könnte man denn dann nicht sagen:
$A\subseteq \bigcap_{x\neq y, x\leq y}X\setminus\overline{\left\{x\right\}}$?
Dann ist A offen.
Aber was macht man mit zwei Elementen, die identisch sind?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:37 Fr 30.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Entschuldigung, daß ich jetzt so viel auf mal gepostet habe. Ich bin nur ein bisschen nervös; jetzt halte ich mich mal zurück und übe mich in Geduld.
Und hoffe auf Reaktionen.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Fr 30.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Hat niemand einen Tipp, eine Reaktion, einen Hinweis für mich?
Ich muss diese Aufgabe abgeben, deswegen dränge ich so, sorry.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Fr 30.12.2011 | | Autor: | SEcki |
> Dann ist A offen.
Ich verstehe nicht, warum du mit offenen Mengen hantierst, wenn du vor allem Aussagen über abgeschlossene hast. Die Aussage ist doch dual dazu, dass beliebige Vereinigungen abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen sind - damit kann man doch besser arbeiten, spiel damit erstmal herum.
> Aber was macht man mit zwei Elementen, die identisch sind?
Wie bitte?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Fr 30.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Danke für Deine Antwort!
Okay, das mache ich.
Es soll also die Vereinigung beliebig vieler abgeschlossener Mengen abgeschlossen sein.
Sei [mm] $A\subseteq [/mm] X$ eine obere Menge bezüglich der Präordnung "Spezialisierung". Das heißt: Für alle [mm] $x\in [/mm] X$ und alle [mm] $y\in [/mm] A$ gilt: Aus [mm] $y\leq [/mm] x$, d.h. [mm] $y\in\overline{\left\{x\right\}}$, [/mm] folgt [mm] $x\in [/mm] A$.
Dann gilt doch wegen der Reflexivität für alle [mm] $y\in [/mm] A$: [mm] $y\leq [/mm] y$, d.h. [mm] $y\in\overline{\left\{y\right\}}$.
[/mm]
Dann würde ich meinen, daß
[mm] $A\subseteq \bigcup_{y\in A}\overline{\left\{y\right\}}$.
[/mm]
Nun ist nach Voraussetzung [mm] $\bigcup_{y\in A}\overline{\left\{y\right\}}$ [/mm] eine abgeschlossene Menge.
Hat man damit schon fertig gezeigt, daß [mm] $A\subseteq\sigma$?
[/mm]
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Hallo mikexx!
> Danke für Deine Antwort!
>
> Okay, das mache ich.
>
> Es soll also die Vereinigung beliebig vieler
> abgeschlossener Mengen abgeschlossen sein.
>
>
> Sei [mm]A\subseteq X[/mm] eine obere Menge bezüglich der
> Präordnung "Spezialisierung". Das heißt: Für alle [mm]x\in X[/mm]
> und alle [mm]y\in A[/mm] gilt: Aus [mm]y\leq x[/mm], d.h.
> [mm]y\in\overline{\left\{x\right\}}[/mm], folgt [mm]x\in A[/mm].
>
> Dann gilt doch wegen der Reflexivität für alle [mm]y\in A[/mm]:
> [mm]y\leq y[/mm], d.h. [mm]y\in\overline{\left\{y\right\}}[/mm].
Das ist trivial.
>
> Dann würde ich meinen, daß
>
> [mm]A\subseteq \bigcup_{y\in A}\overline{\left\{y\right\}}[/mm].
>
>
> Nun ist nach Voraussetzung [mm]\bigcup_{y\in A}\overline{\left\{y\right\}}[/mm]
> eine abgeschlossene Menge.
>
> Hat man damit schon fertig gezeigt, daß [mm]A\subseteq\sigma[/mm]?
Nein, damit hat man nicht gezeigt, dass [mm] $A\in \sigma$!
[/mm]
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Fr 30.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Okay, das war also falsch.
Kannst Du mir dann evtl. sagen, wie ich das beweisen kann?
Also mir einen Tipp geben?
Ich habe nämlich dann keine Idee, wie man den Beweis für die Rückrichtung führen könnte.
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Hallo mikexx!
> Okay, das war also falsch.
>
> Kannst Du mir dann evtl. sagen, wie ich das beweisen kann?
> Also mir einen Tipp geben?
>
> Ich habe nämlich dann keine Idee, wie man den Beweis für
> die Rückrichtung führen könnte.
War ich denn nicht schnell genug? 
Siehe andere Antwort!
LG mathfunnel
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Hallo mikexx!
> Da bisher keine Reaktion kam trotz relativ vieler Leser,
> bin ich etwas hilflos...
>
> Was genau muss ich denn eigentlich bei der Rückrichtung
> voraussetzen und was muss ich zeigen?
Zu zeigen ist noch:
Genau dann ist jede obere Menge offen, wenn der Durchschnitt offener Mengen offen ist.
>
>
> Ich komme damit so gar nicht zurecht und bin langsam am
> verzweifeln.
Vielleicht hilft folgender Tipp:
Für [mm] $x\in [/mm] X$ sei [mm] $M_x \subseteq \mathcal [/mm] P(X)$ die Menge aller $x$ enthaltenden offenen Mengen.
Betrachte [mm] $S_x [/mm] := [mm] \bigcap\limits_{V\in M_x} [/mm] V$.
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Fr 30.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Wie liest man das aus der Aufgabe heraus, dass man dies zeigen muss?
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Hallo mikexx!
> Wie liest man das aus der Aufgabe heraus, dass man dies
> zeigen muss?
Ich zitiere:
> Jede offene Menge eines topologischen Raums $ [mm] (X,\sigma) [/mm] $ ist eine obere Menge (siehe unten) bezüglich der Prä-Ordnung "Spezialisierung" (siehe unten).
> Die Umkehrung gilt genau dann, wenn $ [mm] (X,\sigma) [/mm] $ die folgende Eigenschaft hat: Jeder Durchschnitt beliebig vieler $ [mm] \sigma [/mm] $ - offener Mengen ist wieder $ [mm] \sigma [/mm] $ - offen.
Die 'Umkehrung' lautet (in Kurzfassung):
Jede obere Menge ist offen.
Zu zeigen ist die Äquivalenz ('genau dann') zu:
Jeder Durchschnitt beliebig vieler $ [mm] \sigma [/mm] $ - offener Mengen ist wieder $ [mm] \sigma [/mm] $ - offen.
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Fr 30.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Au backe, ja, das ist wirklich klar.
Irgendwie hab ich wohl völlig verquer gelesen und so die Rückrichtung in den falschen Hals bekommen!
Dennoch macht es mir nicht gerade wenig Probleme. Aber ich versuche es.
Sei also, wie nach Deinem Tipp,
[mm] $S_x:=\bigcap_{V\in M_x}V$, [/mm] d.h. der Schnitt aller offenen Mengen, die x enthalten. Dies soll also nun offen sein.
Nun sei A obere Menge bzgl. der "Spezialisierung".
Das heißt [mm] $y\leq x\Rightarrow x\in [/mm] A$ für [mm] $y\in [/mm] A$.
Und [mm] $y\in\overline{\left\{x\right\}}$.
[/mm]
Kann man jetzt einen Widerspruch herbeiführen, wenn man annimmt, daß A nicht-offen ist?
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Hallo mikexx!
> Au backe, ja, das ist wirklich klar.
> Irgendwie hab ich wohl völlig verquer gelesen und so die
> Rückrichtung in den falschen Hals bekommen!
>
>
> Dennoch macht es mir nicht gerade wenig Probleme. Aber ich
> versuche es.
>
> Sei also, wie nach Deinem Tipp,
>
> [mm]S_x:=\bigcap_{V\in M_x}V[/mm], d.h. der Schnitt aller offenen
> Mengen, die x enthalten. Dies soll also nun offen sein.
Noch interessanter ist die Frage, ob [mm] $S_x$ [/mm] eine obere Menge ist.
>
> Nun sei A obere Menge bzgl. der "Spezialisierung".
> Das heißt [mm]y\leq x\Rightarrow x\in A[/mm] für [mm]y\in A[/mm].
>
>
> Und [mm]y\in\overline{\left\{x\right\}}[/mm].
>
> Kann man jetzt einen Widerspruch herbeiführen, wenn man
> annimmt, daß A nicht-offen ist?
Damit klar ist, welche Richtung du zeigst, solltest du
das hinschreiben.
LG mathfunnel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Fr 30.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Ja, ich war schon wieder zu voreilig.
Also nochmal langsam.
Ich muss also zeigen:
Jede obere Menge offen [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] Durchschnitt bel. vieler offener Mengen ist offen.
Ich möchte zuerst versuchen [mm] $\Rightarrow$ [/mm] zu zeigen.
Seien also alle oberen Mengen offen.
Sei $A$ so eine obere Menge bezüglich "Spezialisierung", die offen ist.
Für diese Menge A gilt: Für alle [mm] $x\in [/mm] X$ und [mm] $y\in [/mm] A$ folgt aus [mm] $y\leq [/mm] x$ [mm] ($y\in\overline{\left\{x\right\}}$), [/mm] daß [mm] $x\in [/mm] A$.
Bis hierhin komme ich mit.
Ab dann nicht mehr.
Edit: Achso, vielleicht:
[mm] $A\supseteq\bigcup_{x\in A: y\leq x}\overline{\left\{x\right\}}\ni [/mm] y$
Und damit ist eine Vereinigung bel. vieler abgeschlossener Mengen in der Topologie enthalten und dann der Schnitt bel. vieler offner Mengen. Dieser ist also offen.
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Hallo mikexx!
Noch ein Hinweis: Es gilt: [mm] $x\leq [/mm] y [mm] \Leftrightarrow [/mm] y [mm] \in S_x$ [/mm] (Warum?)
[mm] '$\Rightarrow$': [/mm]
Es ist [mm] $S_x$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] X$ eine obere Menge (Warum?) und somit offen. Vergleiche Schnittmengen von Mengen der Form [mm] $S_x$ [/mm] mit Schnittmengen offener Mengen.
[mm] '$\Leftarrow$': [/mm]
Stelle obere Mengen als Vereinigungen von Mengen der Form [mm] $S_x$ [/mm] dar.
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Fr 30.12.2011 | | Autor: | mikexx |
> Noch ein Hinweis: Es gilt: [mm]x\leq y \Leftrightarrow y \in S_x[/mm]
> (Warum?)
Hm, um ehrlich zu sein: Ich habe keinen blassen Schimmer, wieso das gilt.
Sei [mm] $x\leq [/mm] y$, dann gilt [mm] $x\in\overline{\left\{y\right\}}$. [/mm] $x$ ist also in der kleinsten abgeschlossenen Menge enthalten, die $y$ enthält.
Und daraus soll nun folgen, daß $y$ in allen offenen Mengen ist, die $x$ enthalten?
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Hallo mikexx!
> > Noch ein Hinweis: Es gilt: [mm]x\leq y \Leftrightarrow y \in S_x[/mm]
> > (Warum?)
>
>
> Hm, um ehrlich zu sein: Ich habe keinen blassen Schimmer,
> wieso das gilt.
>
> Sei [mm]x\leq y[/mm], dann gilt [mm]x\in\overline{\left\{y\right\}}[/mm]. [mm]x[/mm]
> ist also in der kleinsten abgeschlossenen Menge enthalten,
> die [mm]y[/mm] enthält.
>
> Und daraus soll nun folgen, daß [mm]y[/mm] in allen offenen Mengen
> ist, die [mm]x[/mm] enthalten?
>
>
Sei $x,y [mm] \in [/mm] X$ und [mm] $x\leq [/mm] y$.
Angenommen es existiert eine offene Menge $U$ mit [mm] $x\in [/mm] U$ und [mm] $y\not\in [/mm] U$.
Also ist $y$ eine Element der abgeschlossenen Menge [mm] $X\backslash [/mm] U$.
Ist dann [mm] $x\in \overline {\{y\}}$?
[/mm]
LG mathfunnel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Fr 30.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Okay, das habe ich verstanden:
Da [mm] $x\in [/mm] U$ ist [mm] $x\notin (X\setminus [/mm] U)$ (abgeschlossene Menge), was es aber sein müsste, da $x$ ja in allen abgeschlossenen Mengen sein soll, die $y$ enthalten.
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Ich versuche mal weiterzumachen mit dem Beweis.
[mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
[mm] $S_x$ [/mm] ist obere Menge, denn sei [mm] $y\in S_x$ [/mm] beliebig und ebenso [mm] $x\in [/mm] X$ beliebig. Dann folgt aus [mm] $y\leq [/mm] x$, daß [mm] $x\in S_x$ [/mm] (nach dem, was ich bzw. eher Du gezeigt hast).
Nach Voraussetzung ist [mm] $S_x$ [/mm] offene Menge.
Wie meintest Du den Rest Deines Tipps?
Welche Schnitte soll ich miteinander vergleichen um nun zu zeigen, daß der Schnitt beliebig vieler offener Mengen offen ist?
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Hallo mikexx,
du bist sehr geschickt im Lösen von Aufgaben!
> Okay, das habe ich verstanden:
>
> Da [mm]x\in U[/mm] ist [mm]x\notin (X\setminus U)[/mm] (abgeschlossene
> Menge), was es aber sein müsste, da [mm]x[/mm] ja in allen
> abgeschlossenen Mengen sein soll, die [mm]y[/mm] enthalten.
>
> -------------------------------------------------------
>
> Ich versuche mal weiterzumachen mit dem Beweis.
>
> "[mm]\Rightarrow[/mm]":
>
> [mm]S_x[/mm] ist obere Menge, denn sei [mm]y\in S_x[/mm] beliebig und ebenso
> [mm]x\in X[/mm] beliebig. Dann folgt aus [mm]y\leq x[/mm], daß [mm]x\in S_x[/mm]
> (nach dem, was ich bzw. eher Du gezeigt hast).
>
> Nach Voraussetzung ist [mm]S_x[/mm] offene Menge.
Und zusätzlich (nach Definition) Teilmenge jeder offenen Menge, die $x$ enthält. Warum ist also der Schnitt von offenen Mengen offen?
>
> Wie meintest Du den Rest Deines Tipps?
>
> Welche Schnitte soll ich miteinander vergleichen um nun zu
> zeigen, daß der Schnitt beliebig vieler offener Mengen
> offen ist?
LG mathfunnel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Fr 30.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Geschickt? Ist das ironisch gemeint? 
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Also irgendwie stehe ich wohl auf dem Schlauch.
Für jedes [mm] $x\in [/mm] X$ ist [mm] $S_x$ [/mm] also obere Menge, offen und Teilmenge der offenen Mengen, die $x$ enthalten.
Aber wie man daraus sieht, daß der Schnitt bel. vieler offener Mengen offen ist, sehe ich nicht.
[mm] $S_x\subseteq [/mm] V [mm] ~\forall V\in M_x$.
[/mm]
Muss man da verwenden, daß X selbst auch offen ist?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Fr 30.12.2011 | | Autor: | mikexx |
[mm] $\tau$ [/mm] soll die Topologie sein?
---------------------------------------
Ich glaube, ich hab's verstanden, wieso gilt:
[mm] $\bigcap_{O\in\tau}O=\bigcup_{x\in D}S_x$.
[/mm]
Sei [mm] $x\in \bigcap_{O\in\tau}O$ [/mm] beliebig, dann ist [mm] $x\in [/mm] O$ für alle diese O.
Da O offene Menge sind, sind diese O dann in dem entsprechenden [mm] $M_x$ [/mm] und deswegen gibt es dann ein [mm] $S_x\in\bigcup_{x\in D} S_x$, [/mm] sodass [mm] $x\in S_x$. [/mm] Also ist [mm] $x\in \bigcup_{x\in D}S_x$.
[/mm]
Die andere Inklusion lasse ich mal weg jetzt.
-------------------------------------------
[mm] "\Leftarrow$":
[/mm]
Der Schnitt bel. vieler offner Mengen sei offen.
Also [mm] $\left(\bigcap_{O\in\tau}O\right)\in\tau$
[/mm]
Nun hattest Du geschrieben, daß ich diese Mengen als Vereinigungen von Mengn der Form von [mm] $S_x$ [/mm] darstellen soll...
Also jetzt einfach wieder:
[mm] $D:=\bigcap_{O\in\tau}O=\bigcup_{x\in D}S_x$?
[/mm]
Und dann?
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Hallo mikexx,
ich bin schon ziemlich müde, also wenn hier Fehler drin sind, bist du Schuld, nicht ich, ok?
> [mm]\tau[/mm] soll die Topologie sein?
Nein! [mm] $\tau$ [/mm] ist eine (beliebige) Teilmenge der Topologie [mm] $\sigma$ [/mm] (nach Aufgabenstellung).
>
> ---------------------------------------
>
> Ich glaube, ich hab's verstanden, wieso gilt:
>
> [mm]\bigcap_{O\in\tau}O=\bigcup_{x\in D}S_x[/mm].
>
> Sei [mm]x\in \bigcap_{O\in\tau}O[/mm] beliebig, dann ist [mm]x\in O[/mm] für
> alle diese O.
>
> Da O offene Menge sind, sind diese O dann in dem
> entsprechenden [mm]M_x[/mm] und deswegen gibt es dann ein
> [mm]S_x\in\bigcup_{x\in D} S_x[/mm], sodass [mm]x\in S_x[/mm]. Also ist [mm]x\in \bigcup_{x\in D}S_x[/mm].
Fast! Nur dass [mm] $S_x \subseteq \bigcup\limits_{x\in D} S_x$ [/mm] (Irgendwie stehst du auf Kriegsfuß mit [mm] '$\subseteq$' [/mm] und [mm] '$\in$'. [/mm] Das solltest du ändern.) Und: [mm] $x\in S_x$ [/mm] ist (nach Definition) natürlich oberabsolutvölligtrivial! (Falls FRED es nicht für zu leichtfertig hält. )
Die Argumentation ist einfach [mm] $x\in S_x \subseteq [/mm] D$, da [mm] $S_x \subseteq [/mm] O$ für alle $O [mm] \in \tau \subseteq \sigma$.
[/mm]
>
> Die andere Inklusion lasse ich mal weg jetzt.
>
Weil sie oberabsolutvölligtrivial ist? (Verzeihung FRED.)
> -------------------------------------------
>
> [mm]"\Leftarrow$":[/mm]
>
> Der Schnitt bel. vieler offner Mengen sei offen.
>
> Also [mm]\left(\bigcap_{O\in\tau}O\right)\in\tau[/mm]
>
> Nun hattest Du geschrieben, daß ich diese Mengen als
> Vereinigungen von Mengn der Form von [mm]S_x[/mm] darstellen
> soll...
>
> Also jetzt einfach wieder:
>
> [mm]D:=\bigcap_{O\in\tau}O=\bigcup_{x\in D}S_x[/mm]?
$ [mm] \left(\bigcap\limits_{O\in\tau}O\right)\in\sigma [/mm] $!!!!, da
für eine obere Menge $U$ gilt: $U = [mm] \bigcup\limits_{x\in U}S_x [/mm] $ (Warum?)
So jetzt hast du es (und mich) geschafft! (Falls ich nichts übersehen habe und du keine Frage mehr zu diesem Thema hast.)
Ich sagte ja: Du bist sehr geschickt.
>
> Und dann?
>
>
LG mathfunnel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:00 Fr 30.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich beschäftige mich morgen nochmal damit, um diese Zeit bin ich auch nicht mehr sicher, daß ich alles kapiere.
Ich bin Dir überaus dankbar.
Ohne Dich hätte ich das nie und nimmer hinbekommen.
Wenn ich mich mal revanchieren kann, sag es bitte.
Einen guten Rutsch ins neue Jahr!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:06 Fr 30.12.2011 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo mikexx!
> Ich beschäftige mich morgen nochmal damit, um diese Zeit
> bin ich auch nicht mehr sicher, daß ich alles kapiere.
>
>
>
> Ich bin Dir überaus dankbar.
> Ohne Dich hätte ich das nie und nimmer hinbekommen.
>
> Wenn ich mich mal revanchieren kann, sag es bitte.
>
> Einen guten Rutsch ins neue Jahr!!
Danke, wünsche ich dir auch!
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Sa 31.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Hi, eine kleine, aber wichtige Frage hat sich über Nacht doch noch ergeben und zwar:
Wie bist Du (ganz am Anfang) auf diese ganze Idee mit dem [mm] $S_x$ [/mm] gekommen?
Mich interessiert sowas eigentlich am meisten: Wie man auf solche Ideen kommt, ich komme nie auf sowas.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Sa 31.12.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Die "upper set - Topologie" ist die feinste Topologie auf P, die mit der (vorgegebenen) Präordnung [mm] $\leq$ [/mm] kompatibel ist.
Anmerkung:
Eine Topologie [mm] $\tau$ [/mm] auf $P$ heiße kompatibel mit [mm] $\leq$ [/mm] genau dann, wenn (*) erfüllt ist, wobei
(*) [mm] $p\leq [/mm] q$ genau dann, wenn [mm] $p\in\overline{\left\{q\right\}}$ [/mm] |
Mit Entsetzen stelle ich gerade fest, daß diese Aufgabe immer noch nicht zu Ende ist, denn es ist noch diese weitere Teilaufgabe gegeben.
Achso: Daß die oberen Mengen eine Topologie bilden (die "upper set - Topologie"), habe ich schon gezeigt.
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Ich habe diese zwei Ansätze bis jetzt:
Ansatz I
Es bezeichne [mm] $\tau$ [/mm] die upper set-Topologie.
Angenommen es gibt eine feinere Topologie [mm] $\theta$, [/mm] die mit [mm] $\leq$ [/mm] kompatibel ist, d.h
[mm] $\tau\subseteq\theta$
[/mm]
Dann ist jede offene Menge bezüglich der Topologie [mm] $\tau$ [/mm] auch offene Menge bezüglich der Topologie [mm] $\theta$.
[/mm]
Das kann man auch als Abbildung ausdrücken:
Dann ist Abbildung [mm] $id:P\to [/mm] P$ eine stetige Abbildung von [mm] $(P,\theta)$ [/mm] nach [mm] $(P,\tau)$.
[/mm]
Dann müsste man jetzt bestimmt irgendeine offene Menge bezüglich [mm] $\tau$ [/mm] finden, deren Urbild nicht offen bezüglich [mm] $\theta$ [/mm] ist.
Nur: Wie?
Ansatz II
Also noch eine andere Idee. Zumindest an Ideen mangelt es nicht.
Sei also [mm] $\theta$ [/mm] eine feinere Topologie als [mm] $\tau$ [/mm] (upper set - Topologie), die kompatibel mit [mm] $\leq$ [/mm] ist, also [mm] $\tau\subseteq\theta$.
[/mm]
Also dann sind erstmal natürlich alle offenen Mengen bezüglich [mm] $\tau$ [/mm] auch offene Mengen bezüglich [mm] $\theta$. [/mm] Also besteht [mm] $\theta$ [/mm] sozusagen aus den ganzen Mengen, die in [mm] $\tau$ [/mm] sind und noch aus einem Rest von Mengen.
Wenn man jetzt zeigen kann, daß dieser $Rest$ auch aus oberen Mengen besteht, dann wäre doch [mm] $\theta$ [/mm] am Ende wieder [mm] $\tau$ [/mm] und deswegen [mm] $\tau$ [/mm] die feinste Topologie, die mit [mm] $\leq$ [/mm] kompatibel ist.
Oder?
Sei also [mm] $T\in(\theta\setminus\tau)$.
[/mm]
Dann ist $T$ eine obere Menge, denn sei [mm] $x\in [/mm] T, [mm] y\in [/mm] P$ und es gelte [mm] $x\leq [/mm] y$, also [mm] $x\in\overline{\left\{y\right\}}$. [/mm] Dann ist (wie schonmal oben benutzt): [mm] $y\in S_x$, [/mm] also in allen offenen Mengen, die $x$ enthalten. Dann ist also [mm] $y\in [/mm] T$, denn $T$ ist ja eine offene Menge, die $x$ enthält.
Dann ist also [mm] $T\in\tau$, [/mm] oder?
Und das gilt auch für alle anderen Mengen in [mm] $\theta\setminus\tau$.
[/mm]
Deswegen gilt [mm] $\theta=\tau$, [/mm] würde ich meinen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Sa 31.12.2011 | | Autor: | mathfunnel |
> Mit Entsetzen
> stelle ich gerade fest, daß diese Aufgabe
> immer noch nicht zu Ende ist, denn es ist noch diese
> weitere Teilaufgabe gegeben.
Mich entsetzt es auch!
Ich habe deine Frage noch nicht durchgelesen.
Ich bin noch nicht sicher, ob ich noch dazu komme.
Ich versuche es aber.
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 Sa 31.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Danke für die Mühe und auch dafür, daß Du mir sehr ausführlich beschrieben hast, wie man auf die Idee mit dem [mm] $S_x$ [/mm] hätte kommen können. Können.
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Hallo mikexx!
> Die "upper set - Topologie" ist die feinste Topologie auf
> P, die mit der (vorgegebenen) Präordnung [mm]\leq[/mm] kompatibel
> ist.
>
>
> Anmerkung:
>
> Eine Topologie [mm]\tau[/mm] auf [mm]P[/mm] heiße kompatibel mit [mm]\leq[/mm] genau
> dann, wenn (*) erfüllt ist, wobei
>
> (*) [mm]p\leq q[/mm] genau dann, wenn
> [mm]p\in\overline{\left\{q\right\}}[/mm]
>
>
> Mit Entsetzen stelle ich gerade fest, daß diese Aufgabe
> immer noch nicht zu Ende ist, denn es ist noch diese
> weitere Teilaufgabe gegeben.
>
> Achso: Daß die oberen Mengen eine Topologie bilden (die
> "upper set - Topologie"), habe ich schon gezeigt.
> ------------------------------------
>
> Ich habe diese zwei Ansätze bis jetzt:
>
> Ansatz I
>
> Es bezeichne [mm]\tau[/mm] die upper set-Topologie.
>
> Angenommen es gibt eine feinere Topologie [mm]\theta[/mm], die mit
> [mm]\leq[/mm] kompatibel ist, d.h
>
> [mm]\tau\subseteq\theta[/mm]
>
>
> Dann ist jede offene Menge bezüglich der Topologie [mm]\tau[/mm]
> auch offene Menge bezüglich der Topologie [mm]\theta[/mm].
>
> Das kann man auch als Abbildung ausdrücken:
>
> Dann ist Abbildung [mm]id:P\to P[/mm] eine stetige Abbildung von
> [mm](P,\theta)[/mm] nach [mm](P,\tau)[/mm].
>
>
> Dann müsste man jetzt bestimmt irgendeine offene Menge
> bezüglich [mm]\tau[/mm] finden, deren Urbild
Urbild unter id?
> nicht offen bezüglich
> [mm]\theta[/mm] ist.
Das ist nicht möglich!
>
> Nur: Wie?
>
>
> Ansatz II
>
> Also noch eine andere Idee. Zumindest an Ideen mangelt es
> nicht.
>
> Sei also [mm]\theta[/mm] eine feinere Topologie als [mm]\tau[/mm] (upper set
> - Topologie), die kompatibel mit [mm]\leq[/mm] ist, also
> [mm]\tau\subseteq\theta[/mm].
>
> Also dann sind erstmal natürlich alle offenen Mengen
> bezüglich [mm]\tau[/mm] auch offene Mengen bezüglich [mm]\theta[/mm]. Also
> besteht [mm]\theta[/mm] sozusagen aus den ganzen Mengen, die in [mm]\tau[/mm]
> sind und noch aus einem Rest von Mengen.
>
> Wenn man jetzt zeigen kann, daß dieser [mm]Rest[/mm] auch aus
> oberen Mengen besteht, dann wäre doch [mm]\theta[/mm] am Ende
> wieder [mm]\tau[/mm] und deswegen [mm]\tau[/mm] die feinste Topologie, die
> mit [mm]\leq[/mm] kompatibel ist.
>
> Oder?
Stimmt.
>
Wir betrachten im Folgenden den topologischen Raum [mm] $(P,\theta)$ [/mm] (Wir müssen definieren, was [mm] $\overline{\{y\}}$ [/mm] und [mm] $S_x$ [/mm] bedeutet.)
> Sei also [mm]T\in(\theta\setminus\tau)[/mm].
(Es reicht [mm] $T\in \theta$)
[/mm]
> Dann ist [mm]T[/mm] eine obere Menge, denn sei [mm]x\in T, y\in P[/mm] und
> es gelte [mm]x\leq y[/mm], also [mm]x\in\overline{\left\{y\right\}}[/mm].
> Dann ist (wie schonmal oben benutzt): [mm]y\in S_x[/mm], also in
> allen offenen Mengen, die [mm]x[/mm] enthalten. Dann ist also [mm]y\in T[/mm],
> denn [mm]T[/mm] ist ja eine offene Menge, die [mm]x[/mm] enthält.
>
>
> Dann ist also [mm]T\in\tau[/mm], oder?
Ja.
>
> Und das gilt auch für alle anderen Mengen in
> [mm]\theta\setminus\tau[/mm].
Na klar.
>
> Deswegen gilt [mm]\theta=\tau[/mm], würde ich meinen.
Ja.
Etwas einfacher formuliert:
Sei [mm] $T\in \theta$. [/mm] Dann folgt, wie du gezeigt hast, dass $T [mm] \in \tau$ [/mm] und somit [mm] $\tau [/mm] = [mm] \theta$.
[/mm]
LG mathfunnel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Sa 31.12.2011 | | Autor: | mikexx |
> Wir betrachten im Folgenden den topologischen Raum
> [mm](P,\theta)[/mm] (Wir müssen definieren, was [mm]\overline{\{y\}}[/mm]
> und [mm]S_x[/mm] bedeutet.)
>
Mir ist nicht ganz klar, was Du mir mit diesem Teil sagen möchtest.
Soll das einfach nur sozusagen der Vorspann sein, damit der Leser weiß, was ich eigentlich gerade mache?
> > Sei also [mm]T\in(\theta\setminus\tau)[/mm].
>
> (Es reicht [mm]T\in \theta[/mm])
>
> > Dann ist [mm]T[/mm] eine obere Menge, denn sei [mm]x\in T, y\in P[/mm] und
> > es gelte [mm]x\leq y[/mm], also [mm]x\in\overline{\left\{y\right\}}[/mm].
> > Dann ist (wie schonmal oben benutzt): [mm]y\in S_x[/mm], also in
> > allen offenen Mengen, die [mm]x[/mm] enthalten. Dann ist also [mm]y\in T[/mm],
> > denn [mm]T[/mm] ist ja eine offene Menge, die [mm]x[/mm] enthält.
> >
> >
> > Dann ist also [mm]T\in\tau[/mm], oder?
>
> Ja.
>
> >
> > Und das gilt auch für alle anderen Mengen in
> > [mm]\theta\setminus\tau[/mm].
>
> Na klar.
>
> >
> > Deswegen gilt [mm]\theta=\tau[/mm], würde ich meinen.
>
> Ja.
>
> Etwas einfacher formuliert:
>
> Sei [mm]T\in \theta[/mm]. Dann folgt, wie du gezeigt hast, dass [mm]T \in \tau[/mm]
> und somit [mm]\tau = \theta[/mm].
>
> LG mathfunnel
>
Wieso reicht es [mm] $T\in\theta$ [/mm] zu betrachten?
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Hallo mikexx!
> > Wir betrachten im Folgenden den topologischen Raum
> > [mm](P,\theta)[/mm] (Wir müssen definieren, was [mm]\overline{\{y\}}[/mm]
> > und [mm]S_x[/mm] bedeutet.)
> >
>
> Mir ist nicht ganz klar, was Du mir mit diesem Teil sagen
> möchtest.
>
> Soll das einfach nur sozusagen der Vorspann sein, damit der
> Leser weiß, was ich eigentlich gerade mache?
Nein. Die Mengen [mm] $\overline{\{y\}}$ [/mm] und [mm] $S_x$ [/mm] können bei verschiedenen Topologien verschieden sein.
Wir könnten schließlich auch [mm] $\tau$, [/mm] statt [mm] $\theta$ [/mm] betrachten. Dass das keinen Unterschied macht, wollen wir ja erst beweisen!
>
>
> > > Sei also [mm]T\in(\theta\setminus\tau)[/mm].
> >
> > (Es reicht [mm]T\in \theta[/mm])
> >
> > > Dann ist [mm]T[/mm] eine obere Menge, denn sei [mm]x\in T, y\in P[/mm] und
> > > es gelte [mm]x\leq y[/mm], also [mm]x\in\overline{\left\{y\right\}}[/mm].
> > > Dann ist (wie schonmal oben benutzt): [mm]y\in S_x[/mm], also in
> > > allen offenen Mengen, die [mm]x[/mm] enthalten. Dann ist also [mm]y\in T[/mm],
> > > denn [mm]T[/mm] ist ja eine offene Menge, die [mm]x[/mm] enthält.
> > >
> > >
> > > Dann ist also [mm]T\in\tau[/mm], oder?
> >
> > Ja.
> >
> > >
> > > Und das gilt auch für alle anderen Mengen in
> > > [mm]\theta\setminus\tau[/mm].
> >
> > Na klar.
> >
> > >
> > > Deswegen gilt [mm]\theta=\tau[/mm], würde ich meinen.
> >
> > Ja.
> >
> > Etwas einfacher formuliert:
> >
> > Sei [mm]T\in \theta[/mm]. Dann folgt, wie du gezeigt hast, dass [mm]T \in \tau[/mm]
> > und somit [mm]\tau = \theta[/mm].
> >
> > LG mathfunnel
> >
>
>
> Wieso reicht es [mm]T\in\theta[/mm] zu betrachten?
Im Beweis wird nirgends benötigt, dass $T [mm] \notin \tau$.
[/mm]
LG mathfunnel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Sa 31.12.2011 | | Autor: | mikexx |
> Nein. Die Mengen [mm]\overline{\{y\}}[/mm] und [mm]S_x[/mm] können bei
> verschiedenen Topologien verschieden sein.
> Wir könnten schließlich auch [mm]\tau[/mm], statt [mm]\theta[/mm]
> betrachten. Dass das keinen Unterschied macht, wollen wir
> ja erst beweisen!
Also fehlt noch was im Beweis?
Oder wolltest Du mir einfach nur sagen, daß ich dazu schreiben muss, daß ich den topologischen Raum [mm] $(P,\theta)$ [/mm] betrachte?
Sorry, hab's immer noch nicht so ganz kapiert.
> Im Beweis wird nirgends benötigt, dass [mm]T \notin \tau[/mm].
Aber ich will doch nur für die Mengen, die nicht auch in [mm] $\tau$ [/mm] sind, zeigen, daß es sich um obere Mengen handelt.
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> > Nein. Die Mengen [mm]\overline{\{y\}}[/mm] und [mm]S_x[/mm] können bei
> > verschiedenen Topologien verschieden sein.
> > Wir könnten schließlich auch [mm]\tau[/mm], statt [mm]\theta[/mm]
> > betrachten. Dass das keinen Unterschied macht, wollen wir
> > ja erst beweisen!
>
> Also fehlt noch was im Beweis?
> Oder wolltest Du mir einfach nur sagen, daß ich dazu
> schreiben muss, daß ich den topologischen Raum [mm](P,\theta)[/mm]
> betrachte?
Ohne diesen Zusatz ist beispielsweise nicht klar, ob die offenen Mengen, die in die Definition von [mm] $S_x$ [/mm] eingehen [mm] $\tau$-offen [/mm] oder [mm] $\theta$-offen [/mm] sind.
>
> Sorry, hab's immer noch nicht so ganz kapiert.
>
>
> > Im Beweis wird nirgends benötigt, dass [mm]T \notin \tau[/mm].
>
>
> Aber ich will doch nur für die Mengen, die nicht auch in
> [mm]\tau[/mm] sind, zeigen, daß es sich um obere Mengen handelt.
Und somit in [mm] $\tau$ [/mm] sind? Das ist ein Widerspruchsbeweis.
Und in diesem Fall etwas umständlich.
Ist es schlimm, wenn du für alle Mengen aus [mm] $\theta$ [/mm] zeigst, dass sie obere Mengen sind?
Das zeigt dein Beweis sowieso.
LG mathfunnel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Sa 31.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich sehe, was Du meinst.
Für mein Verständnis ist es nur irgendwie bildhafter, wenn ich mir vorstelle, daß in [mm] $\theta$ [/mm] sowieso erstmal alle Mengen aus [mm] $\tau$ [/mm] drin sind (was ja per se obere Mengen sind) und dann noch andere Mengen, die aber auch obere Mengen, also in [mm] $\tau$ [/mm] sind.
Inwiefern Widerspruchsbeweis?
Achso, weil ich erst sage, diese Mengen sind nicht in [mm] $\tau$ [/mm] und dann zeige, daß sie doch in [mm] $\tau$ [/mm] sind.
Ja, stimmt. Schöner ist es natürlich so, wie Du es sagst.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:56 Sa 31.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Damit möchte ich diesen Thread gerne offiziell als beendet erklären und mich nochmal ganz herzlich bei Dir für Deine geduldige, verständnisvolle Hilfe bedanken.
Happy new year 2012.
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Hallo mikexx!
> Hi, eine kleine, aber wichtige Frage hat sich über Nacht
> doch noch ergeben und zwar:
>
>
> Wie bist Du (ganz am Anfang) auf diese ganze Idee mit dem
> [mm]S_x[/mm] gekommen?
>
>
>
> Mich interessiert sowas eigentlich am meisten: Wie man auf
> solche Ideen kommt, ich komme nie auf sowas.
Das ist eine ausgezeichnete Frage. Bei mir war das einfach so, dass ich die Konstruktion von [mm] $S_x$ [/mm] als obere Menge schon kannte.
Wenn man das nicht kennt, könnte man vielleicht so drauf kommen:
Der zweite Teil der Aufgabe besteht vor allem darin, obere Mengen mit Hilfe von offenen Mengen zu konstruieren, um über die Offenheit oberer Mengen überhaupt sprechen zu können.
(Im ersten Teil der Aufgabe wurden ganz spezielle obere Mengen mit Hilfe von offenen Mengen 'konstruiert'.) Wie kann also eine beliebige nichtleere obere Menge aus offenen Mengen konstruiert werden? Diese Frage scheint noch relativ schwer zu sein, also versucht man aus ihr erstmal eine einfachere Frage abzuleiten, indem man 'beliebige nichtleere obere Menge' durch 'möglichst kleine nichtleere obere Menge' ersetzt. Es stellt sich also folgende Frage: Gibt es kleinste nichtleere obere Mengen? Gute Kandidaten für solche Mengen sind (offensichtlich ?) Schnittmengen oberer Mengen, die mindestens ein Element enthalten. Bisher kennen wir aber nur eine Sorte von oberen Mengen, aus dem ersten Teil der Aufgabe. Also versuchen wir es für [mm] $x\in [/mm] X$ mit [mm] $S_x$.
[/mm]
Beantwortet das deine Frage?
LG mathfunnel
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