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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Fr 11.11.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo,
im Beweis der folgenden Aussage:
"Jede Untergruppe einer endlich erzeugten abelschen Gruppe ist frei", haben wir zunächst o.E. angenommen, dass wir eine Untergruppe [mm] A\subset\IZ^n [/mm] betrachten.
Warum darf man das machen? [mm] \IZ^n [/mm] ist doch frei und nicht alle endlich erzeugten abelschen Gruppen sind isomorph zu [mm] \IZ^n.
[/mm]
Gruß,
pyw
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Fr 11.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> im Beweis der folgenden Aussage:
> "Jede Untergruppe einer endlich erzeugten abelschen Gruppe
> ist frei", haben wir zunächst o.E. angenommen, dass wir
> eine Untergruppe [mm]A\subset\IZ^n[/mm] betrachten.
Die Aussage ist falsch!
Soll es eventuell heissen: "Jede Untergruppe einer endlich erzeugten abelschen Gruppe ist endlich erzeugt"? Dann kann man genau so vorgehen...
> Warum darf man das machen? [mm]\IZ^n[/mm] ist doch frei und nicht
> alle endlich erzeugten abelschen Gruppen sind isomorph zu
> [mm]\IZ^n.[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Fr 11.11.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo felix,
danke für deine Antwort! Du hilfst mir immer sehr 
Der Orinalwortlaut des Beweises im Skript ist:
"genügt zu zeigen: [mm] $A\subseteq\IZ^{n}\Rightarrow [/mm] A$ frei. Induktion über $n$: $n=1, [mm] A\subseteq\IZ\Rightarrow [/mm] A=0$ oder [mm] $A=m\IZ$ [/mm] für ein [mm] $m\geq1$, [/mm] also $A$ frei. Nun folgt der Induktionsschritt: [mm] $\phi\colon\IZ^{n}\rightarrow\IZ, (m_{1},\dotsc, m_{n})\mapsto m_{n}, \phi(A)=\overline{A}\Rightarrow\overline{A}=m\IZ$ [/mm] mit [mm] $m\geq1$ [/mm] oder [mm] $\overline{A}=0$. [/mm] Im letzten Fall ist [mm] $A\subseteq\IZ^{n-1}\times0$ [/mm] und wir sind fertig.
Sei also [mm] $\overline{A}=m\IZ$ [/mm] mit [mm] $m\geq1, A_{0}:= A\cap\IZ^{n-1}\times0$. [/mm] Das [mm] $A_{0}$ [/mm] hat nach Induktionsvoraussetzung eine Basis [mm] $x_{1},\dotsc, x_{r}$. [/mm] Sei $x$ Urbild von $m$ unter [mm] $\phi$. [/mm] Wir zeigen, [mm] $x_{1},\dotsc, x_{r},x$ [/mm] ist eine Basis von $A$. Sei dazu [mm] $a\in [/mm] A, [mm] \phi(a)=rm, r\in\IZ\Rightarrow \phi(a-rx)=0\Rightarrow a-rx\in A_{0} \Rightarrow a-rx=\sum \lambda_{i}x_{i}$ [/mm] mit [mm] $\lambda_{i}\in\IZ$. [/mm] Mithin erzeugen diese Elemente die Gruppe $A$.
Sei [mm] $\sum\lambda_{i} x_{i}+rx=0, r_{i},r\in\IZ$. [/mm] Auf diese Gleichung wenden wir das [mm] $\phi$ [/mm] an: [mm] $rm=0\Rightarrow r=0\Rightarrow r_{i}=0$ [/mm] für alle $i$. Damit folgt die lineare Unabhängigkeit."
Meiner Meinung wird damit nur gezeigt, dass eine Untergruppe von [mm] \IZ^n [/mm] frei ist, was aber eine deutlich schwächere Aussage ist.
Ich sehe ebefalls nicht, dass hiermit "Jede Untergruppe einer endlich erzeugten abelschen Gruppe ist endlich erzeugt" bewiesen werden sollte...
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Fr 11.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin pyw!
> danke für deine Antwort! Du hilfst mir immer sehr
Bitte :)
> Der Orinalwortlaut des Beweises im Skript ist:
>
> "genügt zu zeigen: [mm]A\subseteq\IZ^{n}\Rightarrow A[/mm] frei.
Um zu zeigen, dass $A$ endlich erzeugt ist, reicht es natuerlich zu zeigen dass es frei ist (mit endlicher Basislaenge).
Wenn du zeigen willst, dass eine beliebige endlich erzeugte abelsche Gruppe $G$ erfuellt dass jede Untergruppe endlich erzeugt ist, so kannst du $G [mm] \cong \IZ^n [/mm] / B$ schreiben mit einer Untergruppe $B$, und eine Untergruppe $H$ von $G$ entspricht dann einer Untergruppe $A$ von [mm] $\IZ^n$ [/mm] mit $B [mm] \subseteq [/mm] A$; wenn $G = [mm] \IZ^n [/mm] / B$ ist, dann ist $H = A / B$.
Um also zu zeigen, dass $H$ endlich erzeugt ist, reicht es aus zu zeigen dass $A$ endlich erzeugt ist.
Kann es sein, dass es hier um diese Aussage geht?
Die Untergruppe $H = A / B$ ist natuerlich meistens nicht frei.
> Induktion über [mm]n[/mm]: [mm]n=1, A\subseteq\IZ\Rightarrow A=0[/mm] oder
> [mm]A=m\IZ[/mm] für ein [mm]m\geq1[/mm], also [mm]A[/mm] frei. Nun folgt der
> Induktionsschritt: [mm]\phi\colon\IZ^{n}\rightarrow\IZ, (m_{1},\dotsc, m_{n})\mapsto m_{n}, \phi(A)=\overline{A}\Rightarrow\overline{A}=m\IZ[/mm]
> mit [mm]m\geq1[/mm] oder [mm]\overline{A}=0[/mm]. Im letzten Fall ist
> [mm]A\subseteq\IZ^{n-1}\times0[/mm] und wir sind fertig.
>
> Sei also [mm]\overline{A}=m\IZ[/mm] mit [mm]m\geq1, A_{0}:= A\cap\IZ^{n-1}\times0[/mm].
> Das [mm]A_{0}[/mm] hat nach Induktionsvoraussetzung eine Basis
> [mm]x_{1},\dotsc, x_{r}[/mm]. Sei [mm]x[/mm] Urbild von [mm]m[/mm] unter [mm]\phi[/mm]. Wir
> zeigen, [mm]x_{1},\dotsc, x_{r},x[/mm] ist eine Basis von [mm]A[/mm]. Sei
> dazu [mm]a\in A, \phi(a)=rm, r\in\IZ\Rightarrow \phi(a-rx)=0\Rightarrow a-rx\in A_{0} \Rightarrow a-rx=\sum \lambda_{i}x_{i}[/mm]
> mit [mm]\lambda_{i}\in\IZ[/mm]. Mithin erzeugen diese Elemente die
> Gruppe [mm]A[/mm].
>
> Sei [mm]\sum\lambda_{i} x_{i}+rx=0, r_{i},r\in\IZ[/mm]. Auf diese
> Gleichung wenden wir das [mm]\phi[/mm] an: [mm]rm=0\Rightarrow r=0\Rightarrow r_{i}=0[/mm]
> für alle [mm]i[/mm]. Damit folgt die lineare Unabhängigkeit."
>
> Meiner Meinung wird damit nur gezeigt, dass eine
> Untergruppe von [mm]\IZ^n[/mm] frei ist, was aber eine deutlich
> schwächere Aussage ist.
Genau. Aber das ist auch die einzige Aussage, die du wirklich beweisen kannst 
> Ich sehe ebefalls nicht, dass hiermit "Jede Untergruppe
> einer endlich erzeugten abelschen Gruppe ist endlich
> erzeugt" bewiesen werden sollte...
Nun: damit ist gezeigt: jede Untergruppe von [mm] $\IZ^n$ [/mm] ist endlich erzeugt.
Ist $G$ nun eine beliebige endlich erzeugte abelsche Gruppe und $H$ eine Untergruppe, so ist wie oben $G = [mm] \IZ^n [/mm] / B$ und $H = A / B$ mit Untergruppen $B [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \subseteq \IZ^n$. [/mm] (Wobei das Gleichheitszeichen eigentlich Isomorphie ist.) Jetzt hast du, dass $A$ endlich erzeugt ist (von dem Beweis oben), und daraus folgt natuerlich auch dass $H = A/B$ endlich erzeugt ist.
LG Felix
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